Untersuche sie ob die folge konvergent und falls ja dann berechnen sie den grenzwert

Question

Aufgabe:

Ich soll untersuchen ob die folgende folge einen Konvergenz besitzt und falls ja dann ihren Grenzwert bestimmen.

Ich bin auf folgende Lösung gekommen. Könnt ihr mir bitte sagen ob sie korrekt und falls sie es nicht dann wie die Lösung lautet? Außerdem kann mir einer auch erklären wie man von \( \sqrt{a^2+a}-\sqrt{a^2} \) mit Hilfe der dritten binomischen Formel auf folgendes kommt: \( = \sqrt{a^2+a}+\sqrt{a^2}\\[50pt] \)

$$a_{a}:=\sqrt{a}*(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}) \\=\sqrt{a^2+a}-\sqrt{a^2} \text{ | 3 binomische formel} \\=\sqrt{a^2+a}+\sqrt{a^2} \\=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^2+a}+\sqrt{a^2}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\sqrt{a}}=\frac{1}{1(1+\frac{1}{\sqrt{a}})+1} \\=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}1}{\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{\sqrt{a}})+\lim\limits_{x\to\infty}1}=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}1}{\lim\limits_{x\to\infty}1+\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{a}}+\lim\limits_{x\to\infty}1} \\=\frac{1}{1+0+1}=\frac{1}{2}$$

Answer 1

Sieht doch eigentlich recht gut aus

√(a^2 + a) - √(a^2)

= (√(a^2 + a) - √(a^2))·(√(a^2 + a) + √(a^2)) / (√(a^2 + a) + √(a^2))

= (a^2 + a - a^2) / (√(a^2 + a) + √(a^2))

= a / (a·√(1 + 1/a) + a)

= 1 / (√(1 + 1/a) + 1)

Für a --> ∞

= 1 / (1 + 1) = 1/2

Der Gedanke mit der Binomischen Formel ist das man

√a - √b

erweitert zu

= (√a - √b)·(√a + √b) / (√a + √b)

= (a - b) / (√a + √b)

Meist kann man dann a - b gut zusammenfassen und von √a + √b kann man den Grenzwert besser berechnen.