Partialbruchzerlegung (2k+1)/(k4+2k3+k2)

Question

. Aufgabe:

Berechnen Sie die Teleskopsumme folgender Fkt.:

Summe aus k=1 bis n für die Fkt. (2k+1)/(k⁴+2k³+k²).

Als Tipp wurde mir gegeben, dass ich die Partialbruchzerlegung verwenden soll.

Mein Ansatz:

Der Grad des Nenners ist bereits grösser als der Zählergrad, wir müssen also keine Polynomdivision zusätzlich durchführen.
Ich bestimme zuerst die Nullstellen des Nenners:

k²(k²+2k+1)
k1,2=0

k3,4: 0=k²+2k+1

Ansatz pq Formel:

-1 +/- √(-2/2)² -1

k3,4= -1

Wie komme ich nun auf die Teleskopsumme?

Comments

k² + 2k + 1 = (k+1)²

(Binomische Formeln)

---

Ist nur ein anderer Ansatz an die Nullstellen zu kommen?

Answer 1

Deine PBZ ist noch nicht fertig :)

Siehst du welche "alternate form" zu einer Teleskopsumme führt?

(2k+1)/(k4+2k3+k2)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2k%2B1)%2F(k%5E4%2B2k%5E3%2Bk…

Forme deinen Bruch dorthin um.

Comments

ich bin soweit, dass ich folgendes aufgestellt habe:

(2k+1)/(k⁴+2k³+k²)= A/(k-0) + B/(k-0)²+ C/(k+1) + D/(k+1)²

bzw.

(2k+1)/(k⁴+2k³+k²)= A/(k) + B/(k)²+ C/(k+1) + D/(k+1)²

Jetzt multipliziere ich auf beiden Seiten mit k⁴+2k³+k² ?

2k+1 = A*k*(k+1)*(k+1)² + B*k*k²*(k+1)*(k+1)² + C*k*k²*(k+1)² + D*k*k²*(k+1)

Wie geht es nun weiter?

---

Wie sieht das denn genau mit dem Koeffizientenvergleich aus? Ich ordne nach k¹ und nur nach Zahlenwerten?

---

Ich wäre froh, wenn Du mir frühzeitig eine Antwort geben könntest. :)

bzw. mir ein anderer User im Forum hier weiterhelfen könnte.

---

oder ist es so richtig?:

(2k+1)/k²*(k+1)²= (Ak²(k+1)²/k) + (B(k+1)^2k^2)/k²+ (Ck²(k+1)²/(k+1)+(Dk²(k+1)²)

2k+1= A(k+1)²+B(l+1)²+Ck²(k+1)+Dk²

2k+1= A(k²+2k+1)*B(x²+2k+1)+Ck²(k+1)+Dk²

folglich

2=2A+2B

1=A+B

A und B = 1/2 ?

---

Bräuchte deine Hilfe, damit ich weiss, ob es korrekt ist. :D

---

Nochmals: Das hier solltest du erhalten:

D.h. A = C = 0 und B = 1 und D = -1

Mach dir das Lebe nicht so schwer und erinnere dich an Bruchaddition bzw. Bruchsubtraktion.

(2k+1)/(k⁴+2k³+k²)

= (2k+1)/(k²(1+2k+k²))         | quadratisch ergänzen

= (-k² + k² + 2k + 1)/(k²(k² + 2k + 1))     Bruchaddition

= (-k² )/(k²(k² + 2k + 1)) + (k² + 2k + 1)/(k²(k² + 2k + 1))      | kürzen

= (-1)/(k² + 2k + 1) + 1/k²

= 1/k² - 1/(k+1)²

---

erhalte

2=A+2B

1=B

A=0

wäre dann der partielle Bruch "die Teleskopsumme"? oder muss ich da noch etwas zusätzlich machen?

---

Schreibe die Partialsumme bis k=n einmal aus, wie ich das hier bei einer ähnlichen Frage einmal gemacht habe:

https://www.mathelounge.de/191224/wert-einer-unendlichen-reihe-besti…

---

Partialsumme bis k=n

1/k² - 1/(k+1)²

sn=1/1-1/(1+1)²+1/4-1/(2+1)²+1/9-1/(3+1)² + 1/16-1/(4+1)².....+1/n²-1/(n+1)²

ist verstehe nicht, was du aus dem Post in dem gegebenen link mit summanden streichen meinst. bin erstmal soweit gekommen

---

wäre sn dann nicht einfach 1/n²-1/(n+1)²? In meiner Summe kann man gar nicht an Summanden streichen?

---

Du rechnest zu viel:

sn=1/1-1/(1+1)²+1/4-1/(2+1)²+1/9-1/(3+1)² + 1/16-1/(4+1)².....+1/n²-1/(n+1)²

sn=1/1-1/(2)²+1/2²-1/(3)²+1/3²-1/(4)² + 1/4²-1/(5)².....+1/n²-1/(n+1)²

sn=1/1-1/(2)²+1/2²-1/(3)²+1/3²-1/(4)² + 1/4²-1/(5)².....+1/n²-1/(n+1)²

sn=1/1-1/(n+1)²

sn=1-1/(n+1)²

Nun Grenzwert berechnen. --> 1 - 0 = 1

---

Danke sehr, jetzt habe ich es verstanden. Dachte nur man könnte ein Binom nicht (3+1)² nicht einfach so zusammenfassen zu 4², sondern nur über die 2. Binomische Formel.  Aber dann realisiert, dass es auch einfacher geht.

---

Du meinst bei der Grenzwertberechnung wohl -0 statt +0 oder?

---

Du meinst bei der Grenzwertberechnung wohl -0 statt +0 oder?

Ja. Ich habe das mal korrigiert. Aber das gibt dasselbe.

Answer 2

Nur zur Partialbruchzerlegung: Der Nenner k²(k+1)² führt zur Partialbruchzerlegung: A/k²+B/k+C/(k+1)²+D/(k+1).

Jetzt alles auf den Hauptnenner, Zusammenfassen und Zählervergleich.

Comments

Ist die höchste Ordnung nicht 4 im Nenner?

---

ich bin soweit, dass ich folgendes aufgestellt habe:

(2k+1)/(k4+2k3+k2)= A/(k-0) + B/(k-0)2+ C/(k+1) + D/(k+1)2

bzw.

(2k+1)/(k4+2k3+k2)= A/(k) + B/(k)2+ C/(k+1) + D/(k+1)2

Jetzt multipliziere ich auf beiden Seiten mit k4+2k3+k2 ?

2k+1 = A*k*(k+1)*(k+1)2 + B*k*k2*(k+1)*(k+1)2 + C*k*k2*(k+1)2 + D*k*k2*(k+1)

Wie geht es nun weiter?

---

beim Koeffizientenvergleich

Answer 3

Nach quadratischer Ergänzung des Zählers und Faktorisierung des Nenners (ggf. mithilfe der binomischen Formeln) kann der Bruch zerlegt und gekürzt werden. Dies sind die beiden Schritte:$$\dfrac{2k+1}{k^4+2k^3+k^2}=\dfrac{\left(k+1\right)^2-k^2}{k^2\cdot\left(k+1\right)^2}=\dfrac{1}{k^2}-\dfrac{1}{\left(k+1\right)^2}$$