Trapez aus Dreieck entwickeln

Question

Trapez aus Dreieck entwickeln

2 Antworten

Beste Antwort

Der Punkt $Q$ soll also auf einer Geraden liegen, die durch $S$ geht und parallel zu $AB$ verläuft. Und der Winkel $\angle BQS$ soll ein Rechter sein. Folglich steht eine Gerade durch $BQ$ senkrecht auf $SQ$ und somit auch senkrecht auf $AB$ . Da $AB$ genau in Y-Richtung verläuft, muss $Q$ dieselbe Y-Koordinate wie $B$ haben. Und da alle Punkte auf der Geraden durch $SQ$ konstante X- und Z-Koordinaten haben, kann man $Q$ direkt hinschreiben: $Q = \begin{pmatrix} s_x\\ b_y\\ s_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 6\end{pmatrix}$ Falls sich Dein Lehrer mit dieser einfachen Antwort nicht zufrieden gibt und Du es 'ausrechnen' sollst, so geht das wie folgt: Du benötigst dazu die Kenntnis über die Normalform einer Ebene, musst wissen wie man eine Gerade im Raum aufstellt und wie man den Schnittpunkt von beiden berechnet.

$Q$ erhält man als Schnittpunkt der Geraden (blau) durch $S$ , die parallel zu $AB$ verläuft und der Ebene (grün), die $B$ enthält und senkrecht auf $AB$ steht.

(Bem.: auch wenn es auf Grund der Zentralperspektive nicht so aussieht; $E$ steht senkrecht auf der XY-Ebene)

Ein Vektor $\vec{n}$ der in Richtung $AB$ zeigt ist $\vec{n} = f \cdot (B-A)$ wobei $f$ ein beliebiger Faktor ist. Es kommt hier nur auf die Richtung an. In diesem konkreten Fall wähle ich $f=1/7$ , dann bekommt man handliche Zahlen: $\vec{n} = f \cdot (B-A) = \frac17 \left( \begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$ Damit steht die Gerade $g$ durch $S$ fest: $g: \space \vec{x} = S + t \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$ Die Ebene $E$ hat den gleichen Normalenvektor $\vec{n}$ und enthält $B$ also: $\begin{aligned} E: \space \vec{n} \cdot \vec{x} &= \vec{n} \cdot B \\ \end{aligned}$ Mit Einsetzen der Geraden erhält man das $t_Q$ für den Schnittpunkt: $\begin{aligned} \vec{n} \cdot (S + t_Q \cdot \vec{n}) &= \vec{n} \cdot B \\ \vec{n} \cdot S + t_Q \cdot \vec{n}^2 &= \vec{n} \cdot B \\ t_Q \cdot \vec{n}^2 &= \vec{n} \cdot B - \vec{n} \cdot S \\ t_Q &= \frac{\vec{n} \cdot B - \vec{n} \cdot S}{\vec{n}^2} \end{aligned}$ Nun die Zahlen einsetzen $t_Q = \frac{1 \cdot 7- 1 \cdot 3,5}{1^2} = 3,5$ $t_Q$ in die Geradengleichung einsetzen liefert $Q$ $Q = S + t_Q \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + 3,5 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 6\end{pmatrix}$ Falls noch irgendwas nicht klar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Beantwortet 22 Nov 2018 von Werner-Salomon

Darf man für f jede zahl einsetzten.

Ja jede, außer 0.

Woher kommt 1/7 ?

Das 1/7 kommt von der Länge des Vektors $|\vec{AB}|=7$ . Lasse den Faktor $f$ weg, dann steht dort $\vec{n} = (B-A) = \left( \begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 0\end{pmatrix}$ dann lautet die Gerade $g$ durch Punkt $S$ $g: \space \vec{x} = S + t \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$ und die Rechnung für den Wert $t_Q$ sähe so aus: $t_Q = \frac{7 \cdot 7- 7 \cdot 3,5}{7^2} = \frac{7-3,5}{7} = \frac{1}{2}$ Einsetzen in $g$ liefert dann $Q = S + t_Q \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + \frac12 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 6\end{pmatrix}$ .. also unterm Strich: man muss überall mehr rechnen, da man immer mit 7 mal nimmt oder teilt oder kürzt. Mit einer 1 braucht man das nicht.

Das Ergebnis ist natürlich das gleiche, sonst wäre auch was falsch.

Kommentiert 23 Nov 2018 von Werner-Salomon

Das sieht nicht richtig nach einem Trapez aus ? :/

Nun - wie sollte Deiner Meinung nach ein Trapez aussehen? Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten und die Seiten $AB$ und $QS$ laufen doch genau auf den Gitterlinien Deines Papiers - sind also parallel, so wie die roten Geraden in diesem Schrägriss:

Die Frage ist doch eher, ob der Winkel bei $Q$ auch ein rechter ist. Winkel werden in einer Schrägzeichnung verzerrt; so auch hier der Winkel bei $Q$ . Parallele Linien bleiben parallel!

Klick doch oben in meiner Antwort mal auf die Zeichnung. Dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus drehen. Es wird auch dann - je nach Blickrichtung - nur selten ein rechter Winkel bei $Q$ erscheinen, weil es sich bei der Darstellung um eine Zentralprojektion handelt. Aber Du bekommst dann einen besseren räumlichen Eindruck von der Szene.

Gruß Werner

Kommentiert 24 Nov 2018 von Werner-Salomon

Mit Buchstaben braucht man nicht so viel schreiben, aber bitte ...

Die Ebene $E$ war: $\begin{aligned} E: \space \vec{n} \cdot \vec{x} &= \vec{n} \cdot B \\ \end{aligned}$ der Term $\vec{n} \cdot B$ berechnet sich aus: $\vec{n} \cdot B = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\7\\-1 \end{pmatrix} = 0\cdot 3 + 1 \cdot 7 + 0 \cdot (-1) = 7$ dann ist die Ebene $E$ : $E: \space \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \vec{x} = 7$ Für das $\vec{x}$ setze ich nun die Gleichung der Geraden ein: $g: \space \vec{x} = S + t \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$ das gibt für den Wert $t_Q$ $\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + t_Q \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\right) = 7 \\ \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + t_Q \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = 7 \\ 0\cdot0 + 1\cdot 3,5 + 0\cdot 6 + t_Q(0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0) = 7 \\ 3,5 + t_Q = 7 \\ t_Q = 3,5$ Ok - jetzt sehe ich erst, was Du meinst. Ich habe die 3,5 falsch abgeschrieben, ich korrigiere das noch in der Antwort. Das Ergebnis ist ja wieder richtig.

Es steht doch da $7 -3,5 = ?$ . . was soll denn da raus kommen?

Kommentiert 25 Nov 2018 von Werner-Salomon

Und wieso bildet man eine Ebene

.. braucht man auch nicht, aus dem selben Grund wie eben. Aber das beantwortet nicht Deine Frage - oder?

Die Aufgabe lautet doch, diesen Punkt $Q$ zu finden. Er ist die Ecke eines Trapez und liegt auf Strecke, auf der auch $S$ liegt. Und diese Strecke liegt parallel zu $AB$ . Also muss $Q$ auf einer Geraden liegen, die parallel zu $AB$ verläuft und durch $S$ geht.

Nächste Bedingung war der rechte Winkel, sowohl der Ecke $\angle SQB$ als auch in der Ecke $\angle QBA$ . Wegen der zweiten rechten Ecke muss $Q$ in einer Ebene liegen, die senkrecht auf $AB$ steht und in der auch $B$ liegt.

Bringt man die Gerade und die Ebene zum Schnitt, so hat man genau einen Punkt, der beide Bedingungen erfüllt. $Q$ ist gefunden.

... alles klar?

Kommentiert 13 Dez 2018 von Werner-Salomon

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Trapez aus Dreieck entwickeln

2 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen: