Der Punkt \(Q\) soll also auf einer Geraden liegen, die durch \(S\) geht und parallel zu \(AB\) verlĂ€uft. Und der Winkel \(\angle BQS\) soll ein Rechter sein. Folglich steht eine Gerade durch \(BQ\) senkrecht auf \(SQ\) und somit auch senkrecht auf \(AB\). Da \(AB\) genau in Y-Richtung verlĂ€uft, muss \(Q\) dieselbe Y-Koordinate wie \(B\) haben. Und da alle Punkte auf der Geraden durch \(SQ\) konstante X- und Z-Koordinaten haben, kann man \(Q\) direkt hinschreiben: $$Q = \begin{pmatrix} s_x\\ b_y\\ s_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 6\end{pmatrix}$$ Falls sich Dein Lehrer mit dieser einfachen Antwort nicht zufrieden gibt und Du es 'ausrechnen' sollst, so geht das wie folgt: Du benötigst dazu die Kenntnis ĂŒber die Normalform einer Ebene, musst wissen wie man eine Gerade im Raum aufstellt und wie man den Schnittpunkt von beiden berechnet.
\(Q\) erhĂ€lt man als Schnittpunkt der Geraden (blau) durch \(S\), die parallel zu \(AB\) verlĂ€uft und der Ebene (grĂŒn), die \(B\) enthĂ€lt und senkrecht auf \(AB\) steht.
(Bem.: auch wenn es auf Grund der Zentralperspektive nicht so aussieht; \(E\) steht senkrecht auf der XY-Ebene)
Ein Vektor \(\vec{n}\) der in Richtung \(AB\) zeigt ist $$\vec{n} = f \cdot (B-A)$$ wobei \(f\) ein beliebiger Faktor ist. Es kommt hier nur auf die Richtung an. In diesem konkreten Fall wĂ€hle ich \(f=1/7\), dann bekommt man handliche Zahlen: $$\vec{n} = f \cdot (B-A) = \frac17 \left( \begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} $$ Damit steht die Gerade \(g\) durch \(S\) fest: $$g: \space \vec{x} = S + t \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$$ Die Ebene \(E\) hat den gleichen Normalenvektor \(\vec{n}\) und enthĂ€lt \(B\) also: $$\begin{aligned} E: \space \vec{n} \cdot \vec{x} &= \vec{n} \cdot B \\ \end{aligned}$$ Mit Einsetzen der Geraden erhĂ€lt man das \(t_Q\) fĂŒr den Schnittpunkt: $$\begin{aligned} \vec{n} \cdot (S + t_Q \cdot \vec{n}) &= \vec{n} \cdot B \\ \vec{n} \cdot S + t_Q \cdot \vec{n}^2 &= \vec{n} \cdot B \\ t_Q \cdot \vec{n}^2 &= \vec{n} \cdot B - \vec{n} \cdot S \\ t_Q &= \frac{\vec{n} \cdot B - \vec{n} \cdot S}{\vec{n}^2} \end{aligned}$$ Nun die Zahlen einsetzen $$ t_Q = \frac{1 \cdot 7- 1 \cdot 3,5}{1^2} = 3,5$$ \(t_Q\) in die Geradengleichung einsetzen liefert \(Q\) $$Q = S + t_Q \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 0\\ 3,5\\ 6\end{pmatrix} + 3,5 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 6\end{pmatrix}$$ Falls noch irgendwas nicht klar ist, so frage bitte nach.
GruĂ Werner
