Hallo immai,
(a) Du hast da einen Punkt \(P\) aus dem Hut gezaubert. Zum Aufstellen der Hesseschen Normalform brauchst Du die Koordinatenform nur in Vektorform umschreiben.: $$\begin{pmatrix} 2\\ 2+t\\ 2\end{pmatrix} \vec{x} = 3$$ und anschließend die Gleichung durch den Betrag des Normalenvektors teilen: $$E_t: \space \frac1{\sqrt{12+4t+t^2}} \begin{pmatrix} 2\\ 2+t\\ 2\end{pmatrix} \vec{x} = \frac3{\sqrt{12+4t+t^2}}$$
(b) aus Deiner Rechnung werde ich nicht schlau. \(E_{t=-2}\) erhältst Du doch, indem Du für \(t\) die \(-2\) einsetzt: $$E_{-2}: \space \frac1{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 2\end{pmatrix} \vec{x} = \frac3{2\sqrt{2}}$$ Für eine Ebene \(F\), die senkrecht auf \(E\) steht, und die in Parameterform dargestellt werden kann, benötigst Du einen Punkt der Ebene und genau einen Richtungsvektor, der senkrecht auf der Ebene \(E\) steht. Letzteres ist der Normalenvektor. Und einen (Stütz-)Punkt \(P\) findet man, indem man drei Koordinaten sucht, die die Ebenengleichung erfüllen. Z.B.: $$P = \begin{pmatrix} \frac12\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$ Der zweite Richtungsvektor ist beliebig, er muss nur vom Normalenvektor linear unabhängig sein. So kann man \(F\) erzeugen als: $$F: \space \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac12\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + w \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$$
(c) Die Kugel liegt im Ursprung. Es kommt also nur darauf an, wie weit die Ebene vom Mittelpunkt also vom Ursprung entfernt ist. Und die Entfernung \(d\) ist der Wert rechts in der Hesseschen Normalform. Es ist $$d = \frac3{\sqrt{12+4t+t^2}}$$ Für \(d = 1\) bzw. \(t=\{-3; -1\}\) haben Kugel und Ebene \(E_t\) nur genau einen Punkt gemeinsam. Ist \(t<-3\) bzw. \(t>-1\), so ist \(d<1\) und es liegt ein Schnittkreis vor.
(d) mach Dir mal 'ne Schnittzeichnung; dort kannst Du sehen, dass der Radius \(r\) sich aus \(r=\sqrt{1-d^2}\) berechnet - also: $$r = \sqrt{1- \frac{9}{12+4t+t^2}}$$ Gruß Werner
