Kugel und Ebenen berechnen

Question

Wir betrachten im $\mathbb{R}^3$ die Kugel K im Mittelpunkt(0,0,0) und Radius 1, sowie die Ebene $E_t: 2x_1 + (2+t)x_2 + 2x_3 = 3$ für $t \in \mathbb{R}$.

(a) Bestimmen Sie die Hesse-Normalform von $E_t$.

(b) Geben Sie eine Ebene F in Parameterdarstellung an, welche $E_{t=-2}$ orthogonal scheidet.

(c) Bestimmen Sie diejenigen Werte von $t \in \mathbb{R}$, für welche sich $E_t$ und K in keinem Punkt / genau einem Punkt / einem Schnittkreis schneiden.

(d) Geben Sie die Radien der Schnittkreise aus (c) in Abhängigkeit von $t$ an.

ich hoffe ihr könnt mir auch den Lösungsweg schreiben.

Vielen Dank

immai

Comments

Hallo

 die Ebene  in Normalform hinschreiben kannst du wohl? eine dazu senkrechte Ebene  auch?

 wo liegen deine Schwierigkeiten beim Schneiden mit der Kugel?

Also sag was du bisher hast, und wo es nicht weiter geht.

Gruß lul

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geht die a so?

wie soll b gehen?

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etwa so? stimmt es so?

Answer 1

Hallo immai,

(a) Du hast da einen Punkt $P$ aus dem Hut gezaubert. Zum Aufstellen der Hesseschen Normalform brauchst Du die Koordinatenform nur in Vektorform umschreiben.: $$\begin{pmatrix} 2\\ 2+t\\ 2\end{pmatrix} \vec{x} = 3$$ und anschließend die Gleichung durch den Betrag des Normalenvektors teilen: $$E_t: \space \frac1{\sqrt{12+4t+t^2}} \begin{pmatrix} 2\\ 2+t\\ 2\end{pmatrix} \vec{x} = \frac3{\sqrt{12+4t+t^2}}$$

(b) aus Deiner Rechnung werde ich nicht schlau. $E_{t=-2}$ erhältst Du doch, indem Du für $t$ die $-2$ einsetzt: $$E_{-2}: \space \frac1{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 2\end{pmatrix} \vec{x} = \frac3{2\sqrt{2}}$$ Für eine Ebene $F$, die senkrecht auf $E$ steht, und die in Parameterform dargestellt werden kann, benötigst Du einen Punkt der Ebene und genau einen Richtungsvektor, der senkrecht auf der Ebene $E$ steht. Letzteres ist der Normalenvektor. Und einen (Stütz-)Punkt $P$ findet man, indem man drei Koordinaten sucht, die die Ebenengleichung erfüllen. Z.B.: $$P = \begin{pmatrix} \frac12\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$ Der zweite Richtungsvektor ist beliebig, er muss nur vom Normalenvektor linear unabhängig sein. So kann man $F$ erzeugen als: $$F: \space \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac12\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + w \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$$

(c) Die Kugel liegt im Ursprung. Es kommt also nur darauf an, wie weit die Ebene vom Mittelpunkt also vom Ursprung entfernt ist. Und die Entfernung $d$ ist der Wert rechts in der Hesseschen Normalform. Es ist $$d = \frac3{\sqrt{12+4t+t^2}}$$ Für $d = 1$ bzw. $t=\{-3; -1\}$ haben Kugel und Ebene $E_t$ nur genau einen Punkt gemeinsam. Ist $t<-3$ bzw. $t>-1$, so ist $d<1$ und es liegt ein Schnittkreis vor.

(d) mach Dir mal 'ne Schnittzeichnung; dort kannst Du sehen, dass der Radius $r$ sich aus $r=\sqrt{1-d^2}$ berechnet - also: $$r = \sqrt{1- \frac{9}{12+4t+t^2}}$$ Gruß Werner

Comments

Vielen Dank das hilft mir sehr!

Kannst du mir bitte noch bei 3 anderen fragen helfen?

Ich brauch diese fragen bis morgen :(

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Ich brauch diese fragen bis morgen :(

Bis zu welcher Uhrzeit? reicht Freitag Abend?

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Ja heute abend reicht auch aus :)