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Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils den größten gemeinsamen Teiler der folgenden Polynome im jeweiligen Polynomring.

f(x) = 3x^3+x^2+x+2 und g(x) = 2x-1 in |F5. 


Problem/Ansatz:

Den größten gemeinsamen Teiler bestimme ich ja mittels Polynomdivision. Da ich hier aber ja |F5 betrachte wäre meine Frage, wie ich damit umgehe. Forme ich g(x) so um, dass es 2x+1 ist und nehme das ist Dividend? 

Wie schreibe ich hinterher Formal korrekt die Lösungen auf? 

Vielen Dank vorab!

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Ich denke, du machst einfach Polynomdivision und achtest darauf,

dass die Koeffizienten in F5 sind. Etwa so

    (3x^3   +x^2     +x     +2) : (2x-1) = 4x^2  + 3    Rest 1 
-(3x^3      -4x^2)
---------------------
                0x^2  +  x     +  2 
                            (x      + 1)
                          ----------------
                                        1

Also ist 1 der erste Rest.    Weiter mit 

(  4x^2  + 3 )  :  1   =  4x^2 + 3    Rest 0

Also ist 1 der ggT.

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Vielen Dank für deine Rückmeldung! 

Kannst du mir vielleicht noch hierbei helfen? 

f(x) = 3x^3+x^2+x+2, g(x) = 2x-1 in Q[x]


3x^3+x^2+x+2 : 2x-1 = 3/2x^2+5/4x+7/8
-(3x^3-3/2x^2)
-------------------
                 5/2x^2+x+2
              -(5/2x^2-5/4x)
              ----------------------
                    9/4x+2
                 -(9/4x-7/8)
              -------------------
                           23/8


Nun wurde mir gesagt, dass f(x) durch g(x9 nicht ohne Rest teilbar ist, somit ist der ggT nicht linear sondern Konstant = 1. 

Doch woher weiß ich das? 

vielleicht sollte es heißen:

Der Rest ist ein konstantes Polynom

ungleich 0, also eine EINHEIT.

Wie meinst du das? Und ist das was ich gerechnet habe richtig oder ist schon der Ansatz falsch?

Bei der letzten Zahl habe ich 9/8:

3x3+x2+x+2 : 2x-1 = 3/2x2+5/4x+9/8
-(3x3-3/2x2)
-------------------
                 5/2x2+x+2
              -(5/2x2-5/4x)
              ----------------------
                    9/4x+2
                 -(9/4x-9/8)
              -------------------
                           25/8



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