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Aufgabe:

x³-2x²-4x-3


Problem/Ansatz:

Ich soll die Nullstellen mithilfe der Polynomdivision rechnen aber ich komme nicht weiter. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen

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f(x)=x³-2x²-4x+3

Wenn es +3 statt -3 heißt, gibt es drei Nullstellen.

(x³-2x²-4x+3):(x-3)=x²+x-1

5 Antworten

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Beste Antwort

Um herauszufinden, durch was du teilen solltest, bestimme eine Nullstelle durch "raten", das heißt setze die Teiler von 3 in das Polynom ein. Falls du durch Einsetzen einer Zahl \(x_1\) den Wert 0 berkommst, dann handelt es sich bei \(x_1\) um eine Nullstelle. Teile durch \(x-x_1\) und bestimme die Nullstellen des Ergebnisses.

Avatar von 106 k 🚀

Ich habe mit dem Taschenrechner viele Zahlen eingesetzt, aber da kommt nicht null raus

Dann ist Polynomdivision nicht das geeignete Verfahren, die Nullstellen zu bestimmen.

Wie kann ich sonst die nullstellen berechnen?

Taschenrechner oder Cardanische Formeln.

Übrigens:

Satz über rationale Nullstellen. Wenn \(\frac{z}{m}\) (vollständig gekürzter Bruch) eine rationale Nullstelle des Polynoms

        \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\)

mit \(a_i\in\mathbb{Z}\ \forall i\in \{0,\dots,n\}\) ist, dann ist \(z\) ein Teiler von \(a_0\) und \(m\) ein Teiler von \(a_n\).

Damit brauchst du nicht wahllos viele Zahlen einsetzen, es gibt nur endlich viele Kandidaten. In deinem Fall sind das \(1\), \(-1\), \(3\) und \(-3\) wegen \(a_n=1\) und \(a_0 = -3\). Falls keiner der Kandidaten passt, dann gibt es keine rationalen Nullstellen.

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Die Funktion hat nur eine "krumme" Nullstelle in der Nähe von 3,4.

Hast du dich eventuell verschrieben?

x³ - 2x² + 4x - 3 würde eine ganzzahlige Nullstelle ergeben-

Avatar von 54 k 🚀

Die Funktion ist auch richtig. Beim GTR kommt auch 3,4… raus. Aber ich brauche den Rechenweg. Für die polynomdivision finde ich den passenden Divisor nicht

Es gibt auch schonmal Fehler in Büchern, Aufgabenblättern usw.

Fatal ist das, wenn es in Schulaufgaben verkommt und der Schüler verzweifelt zu lösen versucht ohne sich zu trauen Bedenken anzumelden während der Prüfung.

Es gibt auch schonmal Fehler in Büchern,

Davon höre und lese ich öfter. Angeblich wird schlecht oder gar nicht lektoriert aus Kostengründen.

Einen Text zu lektorieren ist ja auch etwas anderes als sämtliche Matheaufgaben zu lösen und damit zu prüfen. Tippfehler passieren schnell.

Man kann aber davon ausgehen, dass die Aufgaben in Prüfungen entsprechend nochmal korrigiert werden. Zumindest gute Lehrer machen das.

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Vielleicht solltest du eines der drei Rechenzeichen umdrehen, denn sonst funktioniert das Nullstellenraten nicht.

Avatar von 26 k
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Die 1. Nullstelle musst du raten. Sie muss ein ganzzahliger Teiler der Konstanten -3 sein.

Es kommen nur infrage: +-1, +-3

a

Das aber keine passt, musst du ein Näherungsverfahren anwenden.

Lösung: x= ~ 3,4241

Avatar von 39 k
Die 1. Nullstelle musst du raten. Sie muss ein ganzzahliger Teiler der Konstanten -3 sein.

Das muss sie nicht, wie dieses Beispiel zeigt. Wenn die Nullstelle ganzzahlig ist, dann muss sie das.

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Wenn die Aufgabe

Ich soll die Nullstellen mithilfe der Polynomdivision rechnen

ist, dann würde ich Rücksprache mit der Lehrkraft halten und erklären, dass man hier keine rationale Nullstelle durch probieren findet und dass die Aufgabe daher mit Polynomdivision nicht zu lösen ist.

Aufgrund einer Wertetabelle erkennt man, dass die Funktion im Intervall von 3 bis 4 eine Nullstelle haben muss.

Über die Berechnung möglicher Extrempunkte (wenn man das schon gelernt hat), kann man auch begründen, dass es keine weiteren Nullstellen geben kann.

~plot~ x^3-2x^2-4x-3;[[-4|4|-12|4]] ~plot~

Avatar von 483 k 🚀

Dass es hier genau eine reelle Nullstelle gibt, kann man auch ohne die Berechnung möglicher Extrempunkte relativ leicht nachweisen.

Ja. Meist gibt es sehr viele Wege etwas nachzuweisen. Ich glaube, es gibt über 400 Möglichkeiten den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Erwarte aber bitte nicht von mir, dass ich alle 400 vormache.

Und von Schülern wird auch nicht erwartet, dass sie alle Wege kennen.

Die ähnlichen Funktionen

f(x) = - x^3 - 2·x^2 - 4·x - 3

f(x) = x^3 - 2·x^2 + 4·x - 3

f(x) = x^3 - 2·x^2 - 4·x + 3

haben rationale Nullstellen und eignen sich daher alternativ für eine Untersuchung der Nullstellen über die Polynomdivision.

Versuche es daher mal mit diesen.

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