Induktionsbeweis: (∏von k=1 bis n) (1+ 2/k) = (∑von k=1 bis n+1) k

Question

Aufgabe:

Es seien n∈ℕ und r∈ℕ₀ . Zeigen Sie mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion:

∏ⁿ_k=1 (1+ 2/k)  =  ∑ⁿ⁺¹_k=1 k

für alle n∈ℕ

(Ich hoffe es ist verständlich wie ich die Zeichen meine...)

Problem/Ansatz:

Den Induktionsanfang (n=1) habe ich schon.

Es bleibt zu zeigen, dass die Annahme für n+1 gilt, wenn sie für n gilt. Damit komme ich nicht weiter.

Answer 1

angenommen es gilt für ein n:

∏ⁿ_k=1 (1+ 2/k)  =  ∑ⁿ⁺¹_k=1 k

Dann gilt :

∏ⁿ⁺¹_k=1 (1+ 2/k)

=(1+2/(n+1))   * ∏ⁿ_k=1 (1+ 2/k)

also nach Ind. annahme:

=(1+2/(n+1)) * ∑ⁿ⁺¹_k=1 k

= ∑ⁿ⁺¹_k=1 k  +  (2/(n+1))* ∑ⁿ⁺¹_k=1 k

Die  2. Summe hat den Wert (n+2)*(n+1)/2

[ Kann man auch durch Induktion beweisen.]

= ∑ⁿ⁺¹_k=1 k  +   (2*(n+2)*(n+1)/2 )/(n+1)

= ∑ⁿ⁺¹_k=1 k  +     (n+2)

=  ∑ⁿ⁺²_k=1 k  .   q.e.d.