Verifizieren Sie cos4(x) - sin4(x) = cos(2x)

Question

Aufgabe:

Verifizieren Sie cos⁴x - sin⁴x = cos(2x)

Answer 1

Hallo Cortex,

das sieht doch nach der dritten binomischen Formel aus $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$: $$\cos^4x - \sin^4x = (\cos^2x + \sin^2x)(\cos^2x - \sin^2x)$$ Und $\cos^2x + \sin^2x=1$, und $\cos^2x-\sin^2=\cos(2x)$ siehe Doppelwinkelfunktionen. Es bleibt $$\dots = (\cos^2x + \sin^2x)(\cos^2x - \sin^2x) = 1\cdot \cos(2x) = \cos(2x)$$Die Doppelwinkelfunktion folgt aus dem Additionstheorem $$\cos(x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2x - \sin^2x$$ Gruß Werner

Comments

vielen Dank Werner!!

Answer 2

cos⁴x - sin⁴x       | 3. binomische Formel

= (cos²x - sin²x)*(cos²x + sin²x)

= …

= cos(2x)

Comments

vielen Dank! Das war schon alles?

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Doppelwinkelformel und den trigonometrischen Pythagoras musst du noch kennen und anwenden in der fehlenden Zeile.

Answer 3

nutze die Doppelwinkelformel, trigonometrischen Pythagoras und dritte binomische Formel:

cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)=(cos²(x)+sin²(x))(cos²(x)-sin²(x))=cos⁴(x)-sin⁴(x)