Du kannst auch so darauf kommen:
$$ a_n=\Bigg(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Bigg)^n=e^{n\cdot \ln\Big(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)} $$
Nun betrachtest du den Exponenten:
$$ n\cdot \ln\Big(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)=n\cdot \ln\Big(\frac{n\cdot n^{\frac{1}{n}}+1}{n}\Big)\geq n\cdot \ln\Big(\frac{n\cdot n^{\frac{1}{n}}}{n}\Big)\\=n\cdot \ln\big(n^{\frac{1}{n}}\big)=n\cdot \frac{1}{n}\cdot \ln(n)=\ln(n)\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty$$
Weil also der Exponent divergiert, gilt auch:
$$ \lim_{n \to \infty} \Bigg(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Bigg)^n=\lim_{n \to \infty} e^{n\cdot \ln\Big(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)}=\infty $$
