Lösbarkeit einer Gleichung, um injektive Funktionen und die Umkehrfunktion einer vorgegebener Funktion.

Question

Aufgabe 1:

a) Sei

\( I_{k}=\left[1-\frac{1}{k}, k\right], \quad k=1,2, \cdots \)

Welche Mengen werden durch

\( I_{1} \cup I_{2}, \quad I_{1} \cup I_{2} \cup I_{3}, \quad \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k} \quad \text { bzw. } \quad I_{1} \cap I_{2}, \quad I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3}, \quad \bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k} \)

beschrieben?

b) Zeigen Sie durch Angabe eines passenden Gegenbeispiels, dass die folgende Aussage falsch ist:

Für die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2} \) und Teilmengen \( A, B \) von \( \mathbb{R} \) gilt

\( f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \text { . } \)

Hinweis: Sie können die Mengen \( A, B \) für das Gegenbeispiel als (passende) Intervalle wählen. Hinweis 2: Für die Abbildung \( f(x)=x^{2} \) gilt \( f([2,3])=\left[2^{2}, 3^{2}\right]=[4,9] \).

Aufgabe 2:

a) Für welche \( y \in \mathbb{R} \) ist die Gleichung \( x^{2}+2 x=y \) lösbar? Für welche \( y \) ist sie eindeutig lösbar?

b) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+2 x \). Bestimmen Sie \( f(\mathbb{R}) . \) Ist \( f \) injektiv?

c) Hat \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=7 x+5 \) eine Umkehrfunktion? Falls ja, welche?

d) Welche der Funktionen

\( \begin{array}{rr} g:[-1,5[\rightarrow \mathbb{R} & h:[3,8] \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto x^{2} & x \mapsto(x-3)^{2}, \end{array} \)

sind injektiv? Bestimmen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion inklusive ihres maximalen Definitionsbereichs.

Answer 1

1a)

\( I_{1} \bigcup I_{2}=[1-1 / 1,1] \bigcup[1-1 / 2,2]=[0,1] \bigcup[1 / 2,2]=[0,2] \)

\( I_{I} \bigcup I_{2} \bigcup I_{3}=[0,2] \bigcup[1-1 / 3,3]=[0,2] \bigcup[2 / 3,3]=[0,3] \)

\( \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k}=[0, \infty) \)

bzw.

\( I_{1} \cap I_{2}=[1-1 / 1,1] \cap[1-1 / 2,2]=[0,1] \cap[1 / 2,2]=[1 / 2,1] \)

\( I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3}=[1 / 2,1] \bigcap[1-1 / 3,3]=[1 / 2,1] \cap[2 / 3,3]=[2 / 3,1] \)

\( \bigcap_{k=1}^{\infty} I_{k}=[1] \)

1b)

Sei \( A=[-2,1], \quad B=[-1,2] \)

\( f(A \bigcap B)=f([-1,1])=[0,1] \)

\( f(A) \cap f(B)=f([-2,1]) \bigcap f([-1,2]=[0,4] \bigcap[0,4]=[0,4] \)

2a)

x ² + 2 x = y

<=> x ² + 2 x - y = 0

pq-Formel:

x_1,2 = - 1 +/- √ ( 1 + y )

Lösbar <=> 1 + y ≥ 0 <=> y ≥ - 1, dann: x₁ = - 1 - √ ( 1 + y ), x₂ = - 1 + √ ( 1 + y )

Eindeutig lösbar <=> 1 + y = 0 <=> y = - 1 , dann: x₁ = x₂ = - 1 +/- √ 0 = - 1

2b)

Aus 2 a ergibt sich: Scheitelpunkt und dait globales Minimum von f (x) = x ² + 2 x ist ( -1 | -1 ).

Also: f ( R ) = [ - 1 , ∞ )

f ist nicht Injektiv, weil die Bedingung f ( x₁ ) = f ( x₂ ) => x₁ = x₂ nicht für alle x ∈ R erfüllt ist.

So gilt etwa: 0 = f ( - 2 ) = f ( 0 ) aber - 2 ≠ 0

2c)

Die Funktion y = f ( x ) = 7 x + 5 ist auf ganz R definiert und injektiv. Sie ist daher auch auf ganz R umkehrbar. Es gilt:

y = f ( x ) = 7 x + 5 <=>  7 x = y - 5 <=> x = ( y - 5 ) / 7

Also:

f ^{- 1} ( y ) = ( y - 5 ) / 7

2d)

g ist auf dem Intervall [ - 1 , 5 [ nicht injektiv, denn es gilt:

1 = g ( - 1 ) = g ( 1 ) , aber - 1 ≠ 1

Die Funktion g ist nur auf den Teilintervallen [ - 1 , 0 ] bzw. [ 0 , 5 [ umkehrbar.

Die Umkehrfunktion auf [ - 1 , 0 ] ist

g ^- 1 ( y ) = - √ y , D = [ - 1 , 0 ] ² = [ 0 , 1 ]

Die Umkehrfunktion auf [ 0 , 5 [ ist

g ^- 1 ( y ) = √ y , D = [ 0 , 5 [ ² = [ 0 , 25 [

h hingegen ist auf dem Intervall [ 3 , 8 ] Injektiv.

Die Umkehrfunktion ist:

h ^{- 1} ( y ) = √ ( y ) + 3 , D = ( [ 3 , 8 ] - 3 ) ² = [ 0 , 25 ]

Comments

Wie bist du auf  eins minus ein eintel, eins minus ein halb .... gekommen, könntes du das bitte erklären, wäre sehr nett .  

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Na, ich habe in die Definition von I _k jeweils k = 1, 2, ... eingesetzt, so wie es die Aufgabenstellung vorschrieb.

Für I₁ ergibt sich dann eben [ 1 - 1/1 , 1 ] ,

für I ₂ ergibt sich [ 1 - 1/2 , 2 ] ,

für I ₃ ergibt sich [ 1 - 1/3 , 3 ]

usw.

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Jetzt hat es klick gemacht in meinem Kopf:) Dankeschön

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warum ist bei den Ergebnissen (0,2) und nicht (0,1/2,1, 2) / (0,3) und nicht (0,1/2, 2/3, 1, 2, 3)

das ∪ bedeutet Vereinigung möchte gern wissen ob man nur die kleinste und die größte Zahl hinschreiben muss?

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Es handelt sich hier um Intervalle. Ein Intervall ist eine spezielle Form einer Mengenangabe, es enthält die Menge aller Zahlen, die zwischen den angegebenen Grenzen liegen. Eine "herkömmliche" Menge hingegen enthält nur die angegebenen Zahlen. Zur Unterscheidung werden bei Intervallen die eckigen "[ ]" und die runden "( )"  Klammern, bei Mengen die geschweiften Klammern "{ }" benutzt.

Das Intervall [ 1 , 5 ] etwa enthält alle Zahlen, die zwischen 1 und 5 liegen, die Menge { 1 , 5 } hingegen nur die Zahlen 1 und 5.

Wenn man nun zwei Intervalle A = [ a , b ] und B = [ c , d ] vereinigt, dann kann man die Vereinigung genau dann als einzelnes Intervall C schreiben, wenn sich die beiden Intervalle A und B überschneiden. In diesem Fall sind die Grenzen des Vereinigungsintervalls die kleinste und die größte der in den beiden Intervallen A und B auftretenden Grenzen.

Beispiel: [ 1, 5 ] ∪ [ 4 , 8 ] = [ 1 , 8 ].

Überschneiden sich die beiden Intervalle nicht, dann kann man deren Vereinigung nicht als einzelnes Intervall schreiben: [ 1 , 5 ] ∪ [ 8 , 9 ] etwa bleibt [ 1 , 5 ] ∪ [ 8 , 9 ].

In deiner Aufgabe überschneiden sich alle Intervalle I _k , daher kann man auch die Vereinigungsmenge aller dieser I _k als einzelnes Intervall schreiben.

Wenn man hingegen zwei Intervalle A = [ a , b ] und B = [ c , d ] schneidet, dann kann man den Schnitt immer als einzelnes Intervall schreiben. Denn entweder überschneiden sich die beiden Intervalle, dann sind die Grenzen des Schnittintervalls die größere der beiden unteren Grenzen bzw. die kleinere der beiden oberen Grenzen der Intervalle A und B.

Beispiel: [ 1, 5 ] ∩ [ 4 , 8 ] = [ 4 , 5 ]

Oder die beiden Intervalle überschneiden sich nicht, dann ist das Schnittintervall die leere Menge ∅ , die im Zusammenhang mit Intervallen manchmal auch als [ ] geschrieben wird.

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Donnerwetter, ganz hervorragende Antworten - Kommunikation...!