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Aufgabe 2: Diskrete Verteilungen und Erwartungswerte

Bezeichne \( (a, b) \) das Ergebnis beim Werfen von zwei Würfeln. Bestimmen Sie die Verteilungen und Erwartungswerte der folgenden drei Zufallsvariablen:

a) \( X(a, b)=|a-b| \)

b) \( Y(a, b)=(a-b)^{2} \)

c) \( Z(a, b)=a b \)


Aufgabe 3: Verteilungsfunktionen

Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \( \Omega=[0,1] \) mit Gleichverteilung betrachten wir eine diskrete Zufallsvariable \( X \) und eine stetige Zufallsvariable \( Y \), die für beliebige \( r \in[0,1] \) wie folgt definiert sind:

\( X(r)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } r=0 \\ \left\lfloor\frac{1}{r}\right\rfloor & \text { sonst } \end{array} \quad Y(r)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } r=0 \\ \frac{1}{r} & \text { sonst } \end{array}\right.\right. \)

a) Bestimmen Sie für die Variable \( X \) das Bild \( \operatorname{Im}(X) \), die (diskrete) Verteilung \( \operatorname{Pr}_{X} \) und die Verteilungsfunktion \( F_{X} \).

b) Bestimmen Sie für die Variable \( Y \) die Verteilungsfunktion \( F_{Y} \) und die zugehörige Dichtefunktion \( f_{Y} \).

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Aufgabe 2: Diskrete Verteilungen und Erwartungswerte

Bezeichne (a‚ b) das Ergebnis beim Werfen von zwei Würfeln.

Bestimmen Sie die Verteilungen und Erwartungswerte der folgenden drei Zufallsvariablen:

a) X(a, b) = Ia - bI

Xi 0 1 2 3 4 5
P(Xi) 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36

E(X) = 0 * 6/36 + 1 * 10/36 + 2 * 8/36 + 3 * 6/36 + 4 * 4/36 + 5 * 2/36 = 35/18 = 1.944444444

Probier mal b) und c) auf ähnliche Weise zu lösen.

b) Y(a‚ b) = (a - b)^2

c) Z(a, b) = ab

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Aber es steht |a-b| muss ich nicht dann die (Xi und P(Xi) substrahieren ? Und woher bekommst du 0 und 6/36 und 1 und 10/36 .... 5 und 2/36. Woher kommst das ?
Bei Teil b)  muss  ich nur diese Werte auf  ^2 setzen oder? Und bei Teil c) muss ich anstatt addieren die Werte multiplizieren ?
(a, b) ist das Ergebnis beim Wurf von 2 Würfeln. Du musst also 36 Ergebnisse beachten. Schreibe dir von mir aus zunächst mal alle 36 Ergebnisse auf. Dann berechnest du für jedes Ergebnis die Zufallsgröße |a - b|. Und dann berechnest du die Wahrscheinlichkeit der Zufallsgröße. Dann solltest du auf meine Werte kommen. Wenn man es sich nicht so vorstellen kann ist es zweckmäßig das zu notieren.
Ich bekomme das bei Teil b)
(0 * 6/36)^2 + (1 * 10/36)^2 +( 2 * 8/36)^2 + (3 * 6/36)^2 + (4 * 4/36 )^2+ (5 * 2/36)^2 = 259/324 = 0,799

und bei Teil c)
(0 * 6/36) * 2 (1 * 10/36) *( 2 * 8/36) * (3 * 6/36) *  (4 * 4/36 ) * (5 * 2/36) = 0

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