Es geht hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten.
zu 1)
Nach dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:
P ( X ) = P ( X | Y ) * P ( Y ) + P ( X | nicht Y ) * P ( nicht Y )
Angewendet auf die Aufgabenstellung:
Die Wahrscheinlichkeit, A zu finden ( = P ( X ) ) ist gleich der Wahrscheinlichkeit, A zu finden, wenn man schlau ist ( = P ( X | Y ) ) multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, schlau zu sein ( = P ( Y ) ) zzgl. der Wahrscheinlichkeit, A zu finden wenn man nicht schlau ist ( = P ( X | nicht Y ), multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, nicht schlau zu sein ( = P ( nicht Y ) ) , also in Formelschrift:
P ( man findet A ) = P (man findet A | man ist schlau) * P ( man ist schlau )
+ P (man findet A | man ist nicht schlau) * P ( man ist nicht schlau )
Gegeben sind:
P ( man findet A | man ist schlau ) = 0,001
P ( man findet A | man ist nicht schlau ) = 0,00001
P ( man ist schlau ) = 0,3
und daraus folgend
P ( man ist nicht schlau ) = 1 - 0,3 = 0,7
also:
P ( man findet A ) = 0,001 * 0,3 + 0,00001 * 0,7 = 0,000307
zu 2a)
Hier ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass man schlau ist, wenn man A findet, also mit obigen Bezeichnungen: P ( Y | X ) = P ( man ist schlau | man findet A )
Nun, dafür gibt es den Satz von Bayes, nach dem gilt:
P ( Y | X ) = P ( X | Y ) * P ( Y ) / P ( X )
Angewendet auf die Aufgabenstellung:
P ( man ist schlau | man findet A )
= P ( man findet A | man ist schlau ) * P ( man ist schlau ) / P ( man findet A )
Die erforderlichen Wahrscheinlichkeiten sind gegeben bzw. in Teil 1) berechnet worden, also:
P ( man ist schlau | man findet A ) = 0,001 * 0,3 / 0,000307 = 0,977
zu 2 b )
Hier ist gesucht: P ( man ist schlau | man findet A nicht )
Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
P ( man ist schlau | man findet A nicht )
= P ( man findet A nicht | man ist schlau ) * P ( man ist schlau ) / P (man findet A nicht )
= ( 1 - P ( man findet A | man ist schlau ) ) * P ( man ist schlau ) / ( 1 - P ( man findet A ) )
= ( 1 - 0,001 ) * 0,3 / ( 1 - 0,000307 ) = 0,2998
