0 Daumen
74 Aufrufe

Aufgabe:

Die Gerade g durch die Punkte A und B schneidet die Ebene E. Wie bestimmt man den Schnittpunkt?

$$A ( 3 | 3 | 1 ) , B ( - 2 | 5 | 2 )$$

$$ \mathrm { E } : \vec { x } = \left( \begin{array} { c } { 14 } \\ { 4 } \\ { 5 } \end{array} \right) + r \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) + s \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 3 } \\ { 2 } \end{array} \right) $$

Bitte Schritt für Schritt erklären.

von

1 Antwort

+3 Daumen

Zuerst stellt du die Geradengleichung auf:
$$g:\vec{x}=\vec{OA}+t\cdot \vec{AB} \rightarrow \vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} -2-3\\ 5-3\\ 2-1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} -5\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$$
Als nächstes (in sofern ihr die Koordinatenform einer Ebene noch nicht behandelt habt) setzt du die Gerade mit der Ebene gleich:
$$\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} -5\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14\\ 4\\ 5 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}$$
Jetzt "ziehst" du alle Vektoren mit Parameter auf die eine Seite und die 2 ohne auf die andere (diese 2 kannst du auch direkt zusammenfassen):

$$-r\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}-s\begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} -5\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14\\ 4\\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$$
$$\Leftrightarrow -r\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}-s\begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} -5\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$$ Das formst du jetzt in 3 Gleichungen um: $$I: -2r+0s-5t=11$$$$II: 0r-3s+2t=1$$$$III: -1r-2s+1t=4$$ Dieses lineare Gleichungssystem löst du nun (z.B. mit dem Gauß Verfahren in einer Matrix). Du erhältst: \(t=-1, \, s=-1, \, r=-3\) Zu guter Letzt setzt du diese Werte jetzt in deine Ebene ein und es ergibt sich ein Vektor. $$\begin{pmatrix} 14\\ 4\\ 5 \end{pmatrix}-3\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}-1\begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14\\ 4\\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -6\\ 0\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ -3\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$$

Diesen noch waagerecht schreiben \(P(8|1|0)\) und voilà, du hast deinen Schnittpunkt. :)

von 4,4 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...