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Aufgabe:

Sei R ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge I⊆R von R heißt Ideal von R, falls gilt:

I ist Untergruppe der additiven Gruppe (R,+).

RI⊆I, das heißt ra∈I für alle r∈R und a∈I.

Für Elemente a1,…,ak∈R definieren wir
(a1,…,ak)={r1a1+…+rkak∣r1,…,rk∈R}.

Zeigen Sie:

(a)
Für a1,…,ak∈R ist (a1,…,ak) das kleinste Ideal, das a1,…,ak enthält.

(b)
Zeigen Sie, dass es für jedes Ideal I⊆Z ein g∈Z mit I=(g) gibt.


Problem/Ansatz:

Leider komme ich bei dieser Aufgabe gar kein Stück weiter. Kann jemand diese bitte lösen?

vor von

2 Antworten

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Beste Antwort

Für a1,…,ak∈R ist (a1,…,ak) das kleinste Ideal, das a1,…,ak enthält.

Dazu musst du doch nur zeigen:

1. Jedes Ideal, das  a1,…,ak enthält,

enthält auch ganz  (a1,…,ak) .

2.   (a1,…,ak) ist ein Ideal.

zu 1.: Sei I ein Ideal, das alle  a1,…,ak

und sei   x ∈  (a1,…,ak) .

==>   Es gibt r1,…,rk∈R mit

                 x = r1a1+…+rkak

Dann gilt für jedes i∈1,...,k}   riai ∈ I,

 weil ai∈ I  und der 2. Eigenschaft der Ideale.

Da I ,+ eine (Unter)gruppe ist, ist auch die

Summe der   riai ∈ I,  also   x ∈ I.

zu 2. :   Seien x,y  ∈    (a1,…,ak)

Dann gibt es  r1,…,rk∈R und  s1,…,sk∈R

mit  x = r1a1+…+rkak und y = s1a1+…+skak

==>   x+y = (r1+s1)a1+…+(rk+sk)ak und die

Werte in der Klammer sind , weil R ein Ring ist,

auch alle in R.

Nenne die Werte in den Klammern ti für i=1,...,k

Also gibt es   t1,…,tk∈R

mit  x+y = t1a1+…+tkak, also ist   (a1,…,ak)

additive Gruppe .

Sei nun x  ∈    (a1,…,ak)  und  r∈R .

Dann gibt es  r1,…,rk∈R   x = r1a1+…+rkak

==>   r*x =  r*r1a1+…+r*rkak .

Nenne die r*ri = ti für alle  i=1,...,k

Also gibt es   t1,…,tk∈R mit

  rx= t1a1+…+tkak, also ist zweite

Idealeigenschaft auch erfüllt.

vor von 152 k
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Ist das eine Aufgabe der RWTH Aachen im Fach Informatik? :)

vor von

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