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Für a ≥ 1, a ∈ R sei rekursiv die Folge (an)n∈N reeller Zahlen durch 

a1 := a,  an+1 := 2−(1/an) (n ∈ N) definiert. Zeigen Sie:
(a) Die Folge (an)n∈N ist wohldefiniert, d.h. die obige Rekursion ist für alle n ∈ N sinnvoll;
außerdem ist die Folge monoton fallend und beschränkt.
(b) Sie konvergiert gegen den Grenzwert 1.

vor von

2 Antworten

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Schreibe dir die ersten n Glieder explizit auf. Dann siehst du die explizite Form an=n/(n-1)-1/(n(na-n+1)).Mit Hilfe der expliziten Form kannst du die Fragen beantworten?

vor von 47 k
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wohldefiniert  :   wohl so:

Einziges Problem würde bei an = 0 .

Dazu müsste vorher  2 - 1/an = 0 gewesen sein , also an = 1/2.

Das ist aber anfangs a ≥ 1 vermieden und du kannst es dann

für alle durch Induktion beweisen:   an ≥ 1 ==>  an+1 ≥ 1 .

So folgt auch Beschränktheit nach oben durch a

nach unten durch 1.

Monotonie   an+1 ≤  a

 <=>  2 - 1/an  ≤  an     | *an geht wegen positiv.

 <=>  2an  - 1   ≤  an 2

<=>  0  ≤  (an - 1 )2

Und das stimmt, weil Quadrate nie negativ sind.

Es gibt also einen Grenzwert g und für den gilt dann

 g = 2 - 1/g was auf  (g-1)^2 = 0 führt,

also g=1.

vor von 152 k

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