+1 Punkt
52 Aufrufe

Ich habe die Funktion f: ℝ2→ℝ, f(x,y)=(x2+y2)2-2x2+2y2+1=(x2+y2-1)2+4y2

Es ist Df(x,y)=(4x(x2+y2-1)             4y(x2+y2-1)+8y)

Für Df(x,y)=(0   0) erhält man die kritischen Punkte (0,0) ,( 1,0) und (-1,0).

f(0,0)=0 und f(1,0)=f(-1,0)=4 somit sind die kritischen Werte 0 und 4.

f-1(0) besteht aus zwei isolierten Minimalstellen und bildet somit eine Mannigfaltigkeit der Dimension 0.


Mir ist fast alles klar, nur weiß ich nicht, wie ich auf die Dimension 0 komme

Es gilt rang Df(x,y)=1, und somit ist die Kodimension 1.

Kann mir jemand sagen, wieso die Dimension 0 ist und wie ich das ausrechne?

von

Ich hätte spontan gesagt, dass wir hier die Dimension 1 haben, da f: ℝ2→ℝ

und nach einem Satz ist eine nichtleere Teilmenge M des ℝn+m eine Mannigfaltigkeit der Dimension n, genau dann, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion f: ℝn+m →ℝm mit regulärem Wert 0 gibt, sodass M=f-1(0).

Wir haben hier ℝund wissen doch schon, dass m=1 ist, weil dies der Rang von Df ist. Es gilt doch daher ℝn+m=ℝ2 und somit müsste die Dimension meiner Meinung nach 1 sein.

wir haben aber Dimension 0 aufgeschrieben. Wo liegt mein Denkfehler?

Bitte logge dich ein oder registriere dich, um die Frage zu beantworten.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...