Grenzwert einer rekursiven Folge beweisen

Question

Aufgabe:

Seien x₀ = 1, x₁ = 2 und x_n+1 = 2x_n + x_n-1 für n > 0 Zeige:

lim (x_n / x_n+1) ex. = sqrt(2) - 1
Problem/Ansatz:

So ich übe gerade Grenzwertaufgaben von Folgen und stieß dabei auf diese Aufgabe. Die Aufgabe sah für mich stark nach dem Sandwich-theorem aus, allerdings konnte ich keine passenden Abschätzungen finden. Dann habe ich versucht über das monotoniekriterium zu zeigen, dass der GW überhaupt existiert allerdings habe ich dann erst bemerkt, dass sich die Folge von "beiden Seiten" dem GW annährt, also nicht monoton ist. Jetzt gehen mir langsam die Ideen aus wie ich das Problem lösen kann :/ Über den ein oder anderen Hinweis würde ich mich sehr freuen ^^

Answer 1

Die explizite Darstellung lautet nach meinen Berechnungen$$x_n=\frac{(1+\sqrt2)^{n+1}-(1-\sqrt2)^{n+1}}{2\sqrt2}.$$

Comments

Wie kommt man auf so eine darstellung? :o

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Für \(n\ge0\) definiere die Folge \(\{z_n\}\) durch \(z_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}\).  Nach der Rekursion für die \(x_n\) gilt dann \(z_{n+1}=2+\frac1{z_n}\). Zeige per Induktion über \(n\), dass \(z_n^2-2z_n-1=\frac{(-1)^{n+1}}{x_n^2}\) ist. Schließe daraus, dass \(\lim z_n= 1+\sqrt2\) sein muss und berechne schließlich \(\lim\frac1{z_n}=\sqrt2-1\).

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Danke Spacko :o

Ich hätte nicht gedacht, dass ich eine explizite Darstellung herleiten muss um diese Aufgabe zu lösen....

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Wie im Kommentar beschrieben kannst du die Aufgabe auch lõsen ohne erst die explizite Darstellung herzuleiten.

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Ja hast du recht, ich war noch einwenig verwirrt und hatte es selber noch nicht ganz durchdacht aber jetzt hab ich es verstanden :) Vielen dank für deine Hilfe!

Answer 2

Die explizite Darstellung zeigt, dass die rekursiv  gegebene Folge eine geometrische Folge mit dem konstanten Faktor x ist. Folglich gilt xⁿ⁺¹=2xⁿ+x^n-1, oder nach Division durch xⁿ+1  wird daraus die quadratische Gleichung x²-2x-1=0 mit den Lösungen x_1/2=1±√2. Da die rekursiv gegebene Folge monoton streigt, entfällt die negative Lösung. Außerdem ist x_n / x_n+1=1/x und 1/(1+√2)=√2-1

Comments

Hallo Roland :)

Danke für deine Hilfe!

Wie bist du auf eine explizite Darstellung gekommen?

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Warum soll denn x_n/x_n+1=1/x mit konstantem x sein? Es ist doch x₀/x₁=1/2 und x₁/x₂=2/5.
Hier scheint einiges nicht zu stimmen.

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Wie kann eigentlich der Kehrwert einer positiven reellen Zahl negativ sein?

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Schaden behoben.

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Und was ist mit x_n/x_n+1=1/x gemeint?
Liegt tatsächlich eine geometrische Folge vor?

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Vermutlich nicht. Habe mich wohl geirrt.