0 Daumen
51 Aufrufe

Aufgabe:

Besitzt A nur ganzzahlige Einträge und gilt det (A) ∈ {-1,1} , so hat auch A-1

Nur ganzzahlige Einträge 

Tipp : Cramersche Regel 

von

2 Antworten

0 Daumen

Es sei A=

a  b

c  d

Dann ist A-1=

d/(ad-bc)  b/(bc-ad)

c/(bc-ad)  a/(ad-bc)

Da det(A)=±1 stehen in den Nennern von A-1 nur die Zahlen -1 oder +1.

von 54 k
0 Daumen

Sei B das Inverse der Matrix A.

Dann gilt:

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & \dotsm & a_{1n} \\ \vdots &&\vdots\\ a_{n1} & \dotsm & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & \dotsm & b_{1n} \\ \vdots &&\vdots\\ b_{n1} & \dotsm & b_{nn}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 &  & 0 \\  &\ddots& \\ 0 &  & 1\end{pmatrix} = E_n$$

Überleg dir mal warum das äquivalent zu

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & \dotsm & a_{1n} \\ \vdots &&\vdots\\ a_{n1} & \dotsm & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1i}\\ \vdots\\b_{ni} \end{pmatrix} = e_i \quad \forall i=1,...,n$$

ist . Auf diese n Gleichungssystem kannst du jetzt die Cramersche Regel anwenden. Und erhältst dann für die \(b_{ij}\) jeweils einen Bruch aus 2 Determinanten. Der Nenner ist 1 oder -1 (die Determinante von A). Im Zähler steht die Determinante einer ganzzahligen Matrix, also ist auch die Determinante ganzzahlig. Eine ganze Zahl durch 1 oder -1 bleibt eine ganze Zahl, also \(b_{ij}\in\mathbb{Z}\)

Das ist die Idee, die Details solltest du damit jetzt selbst ausschmücken können.

von 3,5 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...