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ich hatte gerade für jemanden, der fragte, wenn nur U und A eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind, ob man dann die Seitenlängen a, b, c berechnen, dieses "Problem" versucht zu lösen. Dabei kam raus:

U = a + b + c

A = a * b/2 und damit b = 2A/a

a^2 + b^2 = c^2 und damit c = sqrt(a^2 + b^2)

jetzt lässt sich der Umfang als U = a + b + sqrt(a^2 + b^2) berechnen

da b = 2A/a ist, ist

U = a+ (2A/a) + sqrt(a^2 + (2A/a)^2) --- nach a aufgelöst wird das eine quadratische Gleichung, die sich mit der pq-Formel berechnen lässt

p = -(U^2 + 4A)/2U

q = 2A

a1, a2 = -p/2 +- sqrt((p/2)^2 - q)

dann hat man a1 = a und a2 = b oder a1 = b und a2 = a, d.h. unter a und b lässt sich nicht eindeutig unterscheiden. c hat allerdings den festen Wert

c = sqrt(a1^2 + a2^2)

c lässt sich also eindeutig bestimmen, nur a und b können jeweils das andere sein.

Das ist jetzt sicher nicht der einfachste Weg, aber der einzige, den ich gefunden habe Wenn er überhaupt stimmt...

Jedenfalls kriegt man dabei für U = 257 und A = 7956, so wie die Aufgabe war, kein Ergebnis in R. Heißt das, dass kein ebenes rechtwinkliges Dreieck mit dem Umfang U = 257 und A = 7956 existiert?

Danke
von 4,4 k

2 Antworten

0 Daumen
Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit U = 257 und A = 7956?

A = 1/2 * a * b = 7956
b = 15912/a

U = a + b + c = 257
mit c = Wurzel(a^2 + b^2)
a + b + Wurzel(a^2 + b^2) = 257
Wurzel(a^2 + b^2) = 257 - a - b
a^2 + b^2 = a^2 + 2·a·b - 514·a + b^2 - 514·b + 66049
2·a·b - 514·a - 514·b + 66049 = 0

Erste Gleichung hier einsetzen

2·a·15912/a - 514·a - 514·15912/a + 66049 = 0
- 514·a - 8178768/a + 97873 = 0
- 514·a^2 - 8178768 + 97873·a = 0

Hier gibt es keine Lösung in R. Damit gibt es auch keine Lösung für unser Problem
von 355 k 🚀
Das ist doch haargenau das, was ich gemacht habe ;) Danke trotzdem für die Bestätigung ^^
0 Daumen
Die Überlegungen sind schlüssig.

Wenn du dich nicht verrechnet hast, gibt's keine reelle Lösung.

Ich kann mal schauen, ob WolframAlpha eine Lösung findet.

Offenbar geht das tatsächlich nicht:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2+%2B+b%5E2+%3D+c%5E2%2C+a%2Bb%2Bc%3D257%2C+a*b%2F2+%3D+7956

Vielleicht kann man das abschätzen mit einem halben Quadrat.

U = a+b+c = 257         

A = a*b = 2*7956 = 15912    (Rechtecksfläche)

Ein Quadrat hätte wohl die grösste Fläche

 [W2 ist Wurzel aus 2]

U=a + a + W2*a = a( 2+W2) = 257

a = 257/(2+W2) = 75,27

Fläche Quadrat

a^2 = 5666

Mehr Fläche, bei gegebenem Umfang des halben Quadrats ist nach dieser Rechnung nicht möglich.

15912 wäre nicht erreichbar.
von 160 k 🚀

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