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Aufgabe: Im Innsbrucker Kino Cinematograph gelten folgende Eintrittspreise: Einzeleintrittskarte € 6,50, Gutschein für fünf Eintrittskarten zu € 28,70 (bei Mitgliedschaft um € 5,00 pro Jahr), stark ermäßigte Einzelkarte zu € 4,00 (nur für fördernde Mitglieder: € 36,00 pro Jahr)

Ermitteln Sie rechnerisch, wie oft man jahrlich das Kino besuchen muss, damit sich

a) die Mitgliedschaft gegenüber der Einzeleintrittskarte rentiert,

b) die fördernde Mitgliedschaft gegenüber der einfachen Mitgliedschaft rentiert.


Problem/Ansatz: Wie lauten die Funktionen? Ich würde mit Punkten arbeiten, weiß aber nicht wie. Bitte um Hilfe!

von

3 Antworten

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Ermitteln Sie rechnerisch, wie oft man jahrlich das Kino besuchen muss, damit sich

a) die Mitgliedschaft gegenüber der Einzeleintrittskarte rentiert,

5 + (28.7/5)·x ≤ 6.5·x → x ≥ 6.6

Ab 7 Besuchen/Jahr lohnt es sich.

b) die fördernde Mitgliedschaft gegenüber der einfachen Mitgliedschaft rentiert.

36 + 4·x ≤ 5 + (28.7/5)·x --> x ≥ 17.8

Ab 18 Besuchen/Jahr lohnt es sich.

von 290 k
Ab 7 Besuchen lohnt es sich.

das ist falsch. 7 Besuche kosten Standard \(7\cdot 6,5€= 45,5€\) und bei einfacher Mitgliedschaft braucht man zwei(!) Gutscheine á \(28,7€\) macht mit Jahresgebühr \(5e + 2\cdot 28,7€ = 62,4€\). Ist also teurer.

Ermitteln Sie rechnerisch, wie oft man jahrlich das Kino besuchen muss, damit sich

Ich gehe hier von einer gleichbleibenden Besuchsrate im Kino aus.

Ab 7 Besuchen pro Jahr lohnt es sich.

Also nur wenn man jedes Jahr auch wieder 7 mal ins Kino geht.

Joh - ich habe das kleine Wörtchen 'jährlich' wohl überlesen. Gutscheine neigen dazu verloren zu gehen und hoffen wir mal, dass die Gutscheine im nächsten Jahr noch gültig sind ;-).

+1 Punkt
Ich würde mit Punkten arbeiten, weiß aber nicht wie.
Einzeleintrittskarte € 6,50, 

        P(0 | 0) kein Besuch kostet nichts.

        Q(1 | 6,5) ein Besuch kostet 6,5 €.

Gutschein für fünf Eintrittskarten zu € 28,70 (bei Mitgliedschaft um € 5,00 pro Jahr)

        R(0 | 5) bei 0 Besuchen fällt nur der Mitgliedsbeitrag an

        s(5 | 28,70 + 5) bei 5 Besuchen kommt zum Mitgliedsbeitrag noch die Fünferkarte hinzu.

stark ermäßigte Einzelkarte zu € 4,00 (nur für fördernde Mitglieder: € 36,00 pro Jahr)

        T(0 | 36) bei 0 Besuchen fällt nur der Mitgliedsbeitrag an

        U(1 | 36+4) bei einem Besuchen fällt der Mitgliedsbeitrag un eine Eintrittskarte an.

Achte bei der Mitgliedschaft darauf, dass es am Ende des Jahre viellleicht günstiger ist, Einzelkarten zu kaufen, als eine Fünferkarte nicht ganz zu verbrauchen.

Wenn du die Funktionsgleichungen hast, dann kannst du mittels Gleichsetzen bestimmen, wann welcher Plan günstiger ist.

von 42 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
+1 Punkt

Hallo Pattis,

es sind drei Funktionen für die drei verschiedenen Mitgliedschaften zu definieren. Wobei keine Mitgliedschaft auch als ein Typ Mitgliedschaft zählt. Das seien die Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) für keine, einfache und fördernde Mitgliedschaft. Jede Funktion liefert das Geld, welches man im Jahr für's Kino ausgibt in Abhängigkeit der Anzahl \(x\) der Kinobesuche im Jahr. Also $$f(x) = 6,5 € \cdot x$$das sollte klar sein - oder? Die anderen beiden Funktionen sind $$g(x) = 5€ + 28,7€ \cdot \left \lceil\frac{x}{5} \right \rceil  \\ h(x) = 36€ + 4€ \cdot x$$ Ich nehme mal an, dass Dir die Gauß-Klammer \(\lceil \rceil\) nicht vertraut ist. Denk sie Dir zunächst mal weg, das machen wir später. Genauso muss man noch schreiben, dass \(x \in \mathbb{N}_0\) ist. D.h. \(x\) ist eine ganze und positive Zahl oder 0, da man nicht ein halbes Mal in's Kino gehen kann.

Aber tun wir mal so, als ob das lineare und stetige Funktionen sind und plotten wir sie:

~plot~ 6,5x;5+28,7x/5;36+4x;[[-1|30|-5|150]];{5/0,76|6,5*5/0,76};{17,82|107,26} ~plot~

a) die Mitgliedschaft gegenüber der Einzeleintrittskarte rentiert,

Die einfache Mitgliedschaft ist rote Gerade, die die blaue bei ca. \(6,6\) schneidet. Nun kann man dann aber nur Gutscheine kaufen, die für fünf Kinobesuche reichen. Jetzt kommt die Gauß-Klammer in's Spiel. In Wahrheit sieht die rote Kurve nämlich so aus:

~plot~ 6,5x;(x<6)*33,7+(x>=6)*(x<11)*62,4+(x>=11)*(x<16)*91+(x>=16)*(x<21)*119,8+(x>=21)*(x<26)*148,5+(x>=26)*200;[[-1|30|-5|150]] ~plot~

Wenn Du 10mal in's Kino gehst, so ist man etwas günstiger. Aber nicht bei 9mal und nicht bei 11mal. Wenn Du sicher sein willst, dass es sich wirklich rentiert, zähle ich \(4/5\) des ersten Gutschein zu den Grundkosten hinzu. Dann erhält man eine neue Funktion \(g^*(x)\) $$g^*(x) = 5 € + \frac 45 \cdot 28,7€ + 28,7€ + \frac{5}{x} = 27,96€ + 5,74€ \cdot x$$ Das mit \(f(x)\) gleich setzen gibt $$\begin{align}f(x) &= g^*(x) \\ 6,5€ \cdot x &= 27,96€ + 5,74€ \cdot x \\ 0,76€ \cdot x &= 27,96 € \\ x &\approx 36,8\end{align}$$ D.h nach mindestens 37 Kinobesuchen lohnt sich die einfache Mitgliedschaft sicher.

Wann sich die fördernde Mitgliedschaft lohnt, darfst Du jetzt selber rechnen.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

von 18 k

Antwort noch mal korrigiert ... \(x\ge 37\)

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