Zu zeigen U ist ein Unterraum von Mat(n,K) und bestimmen Sie die Dimension von U

Question

Ich folgende Aufgabe beweisen:

$$\text{ Es sei } A\in \text{Mat}(n,\mathbb{K}) \text{eine Matrix vom Rang r. Zeigen Sie, dass:} \\[20pt] U=\{B \in \text{Mat}(n;\mathbb{K}); A*B=0\} \\[15pt]\text{ ein Unterraum von Mat(n; }\mathbb{K}) \\\text{ und bestimmen Sie die Dimension von U.}$$

Problem/Ansatz:

Wo fange ich an und wie bearbeite ich die Aufgabe? :D

Das einzige was mir einfallen würde, wäre eine Argumentation via der Abbildung der Matrizenmultiplikation:

$$\text{Sei } C:= AB=0 \land A\in \text{Mat}(n,\mathbb{K}) \land B \in \text{Mat}(n;\mathbb{K}) \\\Longrightarrow K^{n \times n}\times K^{n \times n} \longrightarrow K^{n \times n} \\ (A,B) \mapsto C=AB=0 \\\text{ Da } C \in \text{Mat}(n,\mathbb{K})\text{ ist U ein Unterraum von }\text{Mat}(n;\mathbb{K}) \\[15pt] \text{Dim}(U)=n-\text{Rang C} \\ \text{(1) Rang C=0 , da C=A*B=Nullmatrix} \Longrightarrow \text{Dim}(U)=n \\ \text{(2) dim Ker C + Rang C} =n \Longleftrightarrow \text{Dim}(U)= \text{dim Ker C} \\ \text{(3) dim Ker C =0 , da C eine Nullmatrix ist} \\[10pt]\text{ Aus (1), (2) und (3)} \Longrightarrow \text{Dim}(U)=0$$

Answer 1

Unterraum zeigen geht wohl so:   Sei A  wie angegeben:

1. U nicht leer, da die Nullmatrix O in U liegt; denn  A*O=O.

2. Abgeschlossen gegenüber +.

Seien B und C aus U, dann gilt

A*(B+C)= A*B +  A*C = O + O = O, also B+C aus U

2. Abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit Elementen des

Grundkörpers:

 B aus U und x∈K  , dann gilt A*(x*B)= x*( A*B) =x* O = O, also xB aus U.

Also ist U ein Unterraum von  Mat(n,K).

Ach so, ich glaube jetzt verstehe ich auch deinen Ansatz mit der lin. Abb.

Das muss aber - glaube ich - etwas anders gehen:

Du betrachtest die Abbildung, die bei der fest gewählten Matrix A jeder anderen

Matrix B das Produkt A*B zuordnet, also so

$$\text{Gegeben ist: }A\in \text{Mat}(n,\mathbb{K}) \\f:K^{n \times n} \longrightarrow K^{n \times n} ; f(X) = A*X$$

Dann ist U der Kern von f, also ein Unterraum von M(n,K)..

Comments

Zumindest hatte ich schon mal die richtige Idee im ersten Aufgabenteil.

Ich hätte noch eine Frage:

Stimmt mein der zweiter Teil, wo ich die dimension von U bestimme oder muss man es anders angehen?

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Also der 2. Teil ist m.E. falsch.  Erst hat M(n,K) die Dimension n².

Und das Bild von f, das wären ja alle Matrizen, die man durch Multiplikation

von A mit irgendeiner anderen erzeugen kann.

Weil rang(A)=r kommt da wohl auch immer was mit rang ≤ r

raus , könnte sein, dass also die Dimension des Bildes r² ist.

Aber da bin ich mir recht unsicher.

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Nachdem ich deine Punkte gelesen habe, frage ich mich ob man es so aufschreiben könnte:

$$\text{ (1) Da A laut Vorgabe r als Rang hat } \Longleftrightarrow \text{Rang}(A)=r \\\Longrightarrow \text{Rang}(AB)\leq r \\ \text{ (2) Da } B\in \text{Mat}(n,K) \land(AB)=U \land U\in \text{Mat}(n,K) \\\Longrightarrow \text{Rang (B)=r} \\[15pt]\text{ Aus (1) und (2)}\Longrightarrow \text{Rang}(AB)=r^2 \Longleftrightarrow \text{dim U}=r^2$$