Polynomdivision mit Restklassen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Polynome p, q ∈ ℤ₇[T]:

p(T) := 6T⁹+T⁸+6T⁷+T⁶+2T⁵+5T⁴+3T³+4T²+3T+4

q(T) := 4T⁶+4T⁵+4T⁴+2T²+2T+2

Bestimmen Sie mittels Polynomdivision Polynome s, r ∈ ℤ₇[T], so dass gilt

p(T) = s(T) * q(T) + r(T) und grad(r) < grad(q) 

Problem/Ansatz:

Mein Problem bei der Aufgabe liegt am ersten Schritt, also das Ergebnis von 6T⁹:4T⁶ herauszufinden. Da ich mit Restklassen rechnen muss, aus den ganzen Zahlen, ist das nicht so einfach wie bei der "normalen" Polynomdivision.

Meine zweite Frage wäre wie man die Differenz aus der oberen und unteren Reihe zieht, um mit der Polynomdivision weitermachen zu können.

Ich würde mich über eine Antwort freuen.

Comments

Tipp: In ℤ₇^* gilt 1 = 1·1 = 2·4 = 3·5 = 6·6.

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6T^{9}:4T^{6} = 20T^{9}:4T^{6} = 5T^{3}

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Ich bedanke mich für die Antworten.

Ich habe noch eine Frage zum zweiten Kommentar bezüglich der Rechnung.

Ich verstehe nicht wie man von Schritt 1 auf Schritt 2 kommt, also wieso 20T⁹?

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6=6+2*7 mod 7

Answer 1

wieso 20T⁹?

Weil 20 durch 4 teilbar ist und weil 20≡6 mod 7 wegen 20 = 6+2*7.

Du kannst aber auch so vorgehen, dass du einfach versuchst zu finden

4 * x ≡ 6 mod 7

und weil 4*2 schon kongruent zu 1 ist ,

ist 4*2*6 sicherlich kongruent zur 6

also 4*12 das Gesuchte und  wegen 12  ≡ 5 mod 7

hast du  4 * 5 ≡ 6 mod 7 .

Also beginnt deine Polynomdivision so:

(6T^9+T^8+6T^7+T^6+2T^5+5T^4+3T^3+4T^2+3T+4):(4T6+4T5+4T4+2T2+2T+2)=5T^3

6T^9+6T^8+6T^7      +3T^5+3T^4+3T^3

--------------------------------------------------------

         2T^8        +T^6 +6T^5+2T^4   +4T^2+3T+4

denn beim Subtrahieren z.B. bei T^8 -6T^8 kannst du nehmen

(weil 8 kongruent 1 mod 7)

                                        8T^8 - 6T8 = 2T^8

Comments

Im zweiten Schritt muss ich dann 2T⁸:4T⁵ rechnen und das Ergebnis mit der kompletten hinteren Klammer multiplizieren.

Ich habe noch ein paar Probleme bei der Berechnung des Ergebnisses.

Als erstes würde ich 4*x ≡ 2 mod 7 machen, aber wie komme ich jetzt auf das Ergebnis ?

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Als erstes würde ich 4*x ≡ 2 mod 7 machen,  genau!

und dann einfach probieren , etwa für x=2 gibt es

          4*2 =  8  ≡ 1 mod 7   
und immer wenn du rechts die 1 hast brauchst du ja nur noch alles

mal die Zahl zu nehmen, die du haben willst, hier also  *2 gibt

               4*2*2   ≡ 1*2  =  2  mod 7

und  also hast du 4*4 ≡ 2 mod 7

Probe: 4*4=16  = 2*  2*7 , also stimmt es.

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Danke für die Hilfe.

Es wurde mir jetzt klarer