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Aufgabe:Die Diagonale AC ist doppelt so lang wie die Diagonale BD.Berechne die fehlenden Eckpunkte, den Umfang und den FlÀcheninhalt.

A (1/3)

C(13/7)

Ich habe ausgerechnet, dass BD (6/2) ist doch ich komme nicht weiter...

Ich schÀtze eure Hilfe sehr.

Danke im Voraus!

LG

von

Mach dich vielleicht einmal ĂŒber die Eigenschaften einer Raute bewusst:
https://de.wikipedia.org/wiki/Raute#Geometrie

Ich weiß wie man den FlĂ€cheninhalt und Umfang berechnet aber ich weiß nicht wie ich nur mit A und C auf die anderen Punkte kommen soll

Es kann helfen, wenn du weißt, dass die Diagonalen rechtwinklig zueinander sind und sich gegenseitig halbieren.

3 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

(1) Mit dem Arithmetischen Mittel, die Mitte der Diagonale bestimmen:$$M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right) \Longrightarrow M\left(7;5\right)$$

(2) Funktion aufstellen fĂŒr die Strecke:

\(A(1|3) \quad C(13|7)\)$$f(x)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$$$$f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$$

(3) Orthogonale Funktion aufstellen (negative reziproke Steigung):$$g(x)=mx+n  ,\quad m=-\frac{1}{m_f}$$$$g(x)=-3x+n$$

(2b) Mittelpunkt verwenden:$$5=-3\cdot 7+n  \quad \Longrightarrow n=26$$$$g(x)=-3x+26$$

Auf dieser Gerade mĂŒssen nun zwei Punkte liegen, deren Abstand die HĂ€lfte des Abstands von \(AB\) betrĂ€gt.

(3) Abstand von AB berechnen:$$\Delta_{AB}=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}$$$$\Delta_{AB}=\sqrt{(7-3)^2+(13-1)^2}$$$$\Delta_{AB}=4\sqrt{10}$$
Der gesuchte  Abstand ist also \(\frac{\Delta_{AB}}{2}=2\sqrt{10}\).

(4) Kreisgleichung mit \(r=\sqrt{10}\) am Mittelpunkt:

Die allgemeine Kreisgleichung mit gegebenen Mittelpunkt ist \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\). Daraus folgt:$$(x-7)^2+(y-5)^2=10$$

(4b) Nach \(y\) umstellen:$$(x-7)^2+(y-5)^2=10$$$$(y-5)^2=10-(x-7)^2 \quad |\pm\sqrt{}$$$$y=\pm\sqrt{10-(x-7)^2}+5$$ Das sind zwei Gleichungen, die du mit \(g(x)\) gleichsetzt, um die \(x\)-Koordinanten der Punkten zu berechnen.

(4c) Schnittpunkte berechnen:

Du musst nur die Schnittpunkte einer Funktion berechnen, da du beim Prozess der Bestimmung der Nullstellen quadrierst! Such dir also eine aus:

$$\sqrt{-x^2+14x-39}+5=-3x+26$$$$\sqrt{-x^2+14x-39}+5=-3x+26 \quad |-5$$$$\sqrt{-x^2+14x-39}=-3x+21 \quad |\uparrow ^2$$$$-x^2+14x-39=(-3x+21)^2$$$$-x^2+14x-39=9x^2-126x+441$$$$-10x^2+140x-480=0 \quad |:(-10)$$$$x^2-14x+48=0$$$$(x-6)(x-8)=0 \quad \Longrightarrow x_1=6 \quad \vee \quad x_2=8$$

Du kannst hier bereits aufhören. (Man hat beide Lösungen, weil quadriert wurde) Die Punkte errechnest du, indem du \(x_1\) und \(x_2\) ihrem \(y\)-Wert zuschreibst, indem du in die Funktion \(g(x)\) einsetzt!$$g(8)=2 \quad ; \quad g(6)=8$$ Die Punkte lauten also \(P(8|2)\) und \(Q(6|8)\)

Nun einfach nur noch die Punkte verbinden - dann hast du die Raute!

Fertig sieht es so aus:

039bb0f4b677c1ad0368e4943579ba94.png

von 14 k

Prima. Ich habe mal die Diskussion gelöscht. Die ist ja denke ich jetzt hinfÀllig.

Ja, aber so ein langer Rechenweg wie oben, drÀngt einen fast dazu, mal einen Blick auf "Analytische Geometrie" zu werfen.

+2 Daumen

M = 1/2*(A + B) = [7, 5]

MA = A - M = [-6, -2] → A = M + MA = [1, 3]

MB = 1/2*[2, -6] = [1, -3] → B = M + MB = [8, 2]

MC = [6, 2] → C = M + MC = [13, 7]

MD = 1/2*[-2, 6] = [-1, 3] → D = M + MD = [6, 8]

~draw~ polygon(1|3 8|2 13|7 6|8);zoom(14) ~draw~

von 294 k
+2 Daumen

Du hast nicht BD ausgerechnet, sondern AM

blob.png

von 59 k

AM bzw. 1/2 * AC

AC zu halbieren langt allerdings nicht. Man musste den Vektor dann auch noch um 90 Grad drehen.

Es ist allerdings zweckmĂ€ĂŸiger alle Punkte ausgehend von M zu berechnen.

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