Die Strecke AC ist eine Diagonale in einer Raute.

Question

Aufgabe:Die Diagonale AC ist doppelt so lang wie die Diagonale BD.Berechne die fehlenden Eckpunkte, den Umfang und den Flächeninhalt.

A (1/3)

C(13/7)

Ich habe ausgerechnet, dass BD (6/2) ist doch ich komme nicht weiter...

Ich schätze eure Hilfe sehr.

LG

Comments

Mach dich vielleicht einmal über die Eigenschaften einer Raute bewusst:
https://de.wikipedia.org/wiki/Raute#Geometrie

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Ich weiß wie man den Flächeninhalt und Umfang berechnet aber ich weiß nicht wie ich nur mit A und C auf die anderen Punkte kommen soll

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Es kann helfen, wenn du weißt, dass die Diagonalen rechtwinklig zueinander sind und sich gegenseitig halbieren.

Answer 1

(1) Mit dem Arithmetischen Mittel, die Mitte der Diagonale bestimmen:$$M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right) \Longrightarrow M\left(7;5\right)$$

(2) Funktion aufstellen für die Strecke:

$A(1|3) \quad C(13|7)$$$f(x)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$$$$f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$$

(3) Orthogonale Funktion aufstellen (negative reziproke Steigung):$$g(x)=mx+n ,\quad m=-\frac{1}{m_f}$$$$g(x)=-3x+n$$

(2b) Mittelpunkt verwenden:$$5=-3\cdot 7+n \quad \Longrightarrow n=26$$$$g(x)=-3x+26$$

Auf dieser Gerade müssen nun zwei Punkte liegen, deren Abstand die Hälfte des Abstands von $AB$ beträgt.

(3) Abstand von AB berechnen:$$\Delta_{AB}=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}$$$$\Delta_{AB}=\sqrt{(7-3)^2+(13-1)^2}$$$$\Delta_{AB}=4\sqrt{10}$$
Der gesuchte  Abstand ist also $\frac{\Delta_{AB}}{2}=2\sqrt{10}$.

(4) Kreisgleichung mit $r=\sqrt{10}$ am Mittelpunkt:

Die allgemeine Kreisgleichung mit gegebenen Mittelpunkt ist $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Daraus folgt:$$(x-7)^2+(y-5)^2=10$$

(4b) Nach $y$ umstellen:$$(x-7)^2+(y-5)^2=10$$$$(y-5)^2=10-(x-7)^2 \quad |\pm\sqrt{}$$$$y=\pm\sqrt{10-(x-7)^2}+5$$ Das sind zwei Gleichungen, die du mit $g(x)$ gleichsetzt, um die $x$-Koordinanten der Punkten zu berechnen.

(4c) Schnittpunkte berechnen:

Du musst nur die Schnittpunkte einer Funktion berechnen, da du beim Prozess der Bestimmung der Nullstellen quadrierst! Such dir also eine aus:

$$\sqrt{-x^2+14x-39}+5=-3x+26$$$$\sqrt{-x^2+14x-39}+5=-3x+26 \quad |-5$$$$\sqrt{-x^2+14x-39}=-3x+21 \quad |\uparrow ^2$$$$-x^2+14x-39=(-3x+21)^2$$$$-x^2+14x-39=9x^2-126x+441$$$$-10x^2+140x-480=0 \quad |:(-10)$$$$x^2-14x+48=0$$$$(x-6)(x-8)=0 \quad \Longrightarrow x_1=6 \quad \vee \quad x_2=8$$

Du kannst hier bereits aufhören. (Man hat beide Lösungen, weil quadriert wurde) Die Punkte errechnest du, indem du $x_1$ und $x_2$ ihrem $y$-Wert zuschreibst, indem du in die Funktion $g(x)$ einsetzt!$$g(8)=2 \quad ; \quad g(6)=8$$ Die Punkte lauten also $P(8|2)$ und $Q(6|8)$

Nun einfach nur noch die Punkte verbinden - dann hast du die Raute!

Fertig sieht es so aus:

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Prima. Ich habe mal die Diskussion gelöscht. Die ist ja denke ich jetzt hinfällig.

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Ja, aber so ein langer Rechenweg wie oben, drängt einen fast dazu, mal einen Blick auf "Analytische Geometrie" zu werfen.

Answer 2

M = 1/2*(A + B) = [7, 5]

MA = A - M = [-6, -2] → A = M + MA = [1, 3]

MB = 1/2*[2, -6] = [1, -3] → B = M + MB = [8, 2]

MC = [6, 2] → C = M + MC = [13, 7]

MD = 1/2*[-2, 6] = [-1, 3] → D = M + MD = [6, 8]

~draw~ polygon(1|3 8|2 13|7 6|8);zoom(14) ~draw~

Answer 3

Du hast nicht BD ausgerechnet, sondern AM

Comments

AM bzw. 1/2 * AC

AC zu halbieren langt allerdings nicht. Man musste den Vektor dann auch noch um 90 Grad drehen.

Es ist allerdings zweckmäßiger alle Punkte ausgehend von M zu berechnen.