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Aufgabe:Die Diagonale AC ist doppelt so lang wie die Diagonale BD.Berechne die fehlenden Eckpunkte, den Umfang und den Flächeninhalt.

A (1/3)

C(13/7)

Ich habe ausgerechnet, dass BD (6/2) ist doch ich komme nicht weiter...

Ich schätze eure Hilfe sehr.

LG

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Mach dich vielleicht einmal über die Eigenschaften einer Raute bewusst:
https://de.wikipedia.org/wiki/Raute#Geometrie

Ich weiß wie man den Flächeninhalt und Umfang berechnet aber ich weiß nicht wie ich nur mit A und C auf die anderen Punkte kommen soll

Es kann helfen, wenn du weißt, dass die Diagonalen rechtwinklig zueinander sind und sich gegenseitig halbieren.

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(1) Mit dem Arithmetischen Mittel, die Mitte der Diagonale bestimmen:$$M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right) \Longrightarrow M\left(7;5\right)$$

(2) Funktion aufstellen für die Strecke:

\(A(1|3) \quad C(13|7)\)$$f(x)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$$$$f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$$

(3) Orthogonale Funktion aufstellen (negative reziproke Steigung):$$g(x)=mx+n  ,\quad m=-\frac{1}{m_f}$$$$g(x)=-3x+n$$

(2b) Mittelpunkt verwenden:$$5=-3\cdot 7+n  \quad \Longrightarrow n=26$$$$g(x)=-3x+26$$

Auf dieser Gerade müssen nun zwei Punkte liegen, deren Abstand die Hälfte des Abstands von \(AB\) beträgt.

(3) Abstand von AB berechnen:$$\Delta_{AB}=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}$$$$\Delta_{AB}=\sqrt{(7-3)^2+(13-1)^2}$$$$\Delta_{AB}=4\sqrt{10}$$
Der gesuchte  Abstand ist also \(\frac{\Delta_{AB}}{2}=2\sqrt{10}\).

(4) Kreisgleichung mit \(r=\sqrt{10}\) am Mittelpunkt:

Die allgemeine Kreisgleichung mit gegebenen Mittelpunkt ist \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\). Daraus folgt:$$(x-7)^2+(y-5)^2=10$$

(4b) Nach \(y\) umstellen:$$(x-7)^2+(y-5)^2=10$$$$(y-5)^2=10-(x-7)^2 \quad |\pm\sqrt{}$$$$y=\pm\sqrt{10-(x-7)^2}+5$$ Das sind zwei Gleichungen, die du mit \(g(x)\) gleichsetzt, um die \(x\)-Koordinanten der Punkten zu berechnen.

(4c) Schnittpunkte berechnen:

Du musst nur die Schnittpunkte einer Funktion berechnen, da du beim Prozess der Bestimmung der Nullstellen quadrierst! Such dir also eine aus:

$$\sqrt{-x^2+14x-39}+5=-3x+26$$$$\sqrt{-x^2+14x-39}+5=-3x+26 \quad |-5$$$$\sqrt{-x^2+14x-39}=-3x+21 \quad |\uparrow ^2$$$$-x^2+14x-39=(-3x+21)^2$$$$-x^2+14x-39=9x^2-126x+441$$$$-10x^2+140x-480=0 \quad |:(-10)$$$$x^2-14x+48=0$$$$(x-6)(x-8)=0 \quad \Longrightarrow x_1=6 \quad \vee \quad x_2=8$$

Du kannst hier bereits aufhören. (Man hat beide Lösungen, weil quadriert wurde) Die Punkte errechnest du, indem du \(x_1\) und \(x_2\) ihrem \(y\)-Wert zuschreibst, indem du in die Funktion \(g(x)\) einsetzt!$$g(8)=2 \quad ; \quad g(6)=8$$ Die Punkte lauten also \(P(8|2)\) und \(Q(6|8)\)

Nun einfach nur noch die Punkte verbinden - dann hast du die Raute!

Fertig sieht es so aus:

039bb0f4b677c1ad0368e4943579ba94.png

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Prima. Ich habe mal die Diskussion gelöscht. Die ist ja denke ich jetzt hinfällig.

Ja, aber so ein langer Rechenweg wie oben, drängt einen fast dazu, mal einen Blick auf "Analytische Geometrie" zu werfen.

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M = 1/2*(A + B) = [7, 5]

MA = A - M = [-6, -2] → A = M + MA = [1, 3]

MB = 1/2*[2, -6] = [1, -3] → B = M + MB = [8, 2]

MC = [6, 2] → C = M + MC = [13, 7]

MD = 1/2*[-2, 6] = [-1, 3] → D = M + MD = [6, 8]

~draw~ polygon(1|3 8|2 13|7 6|8);zoom(14) ~draw~

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Du hast nicht BD ausgerechnet, sondern AM

blob.png

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AM bzw. 1/2 * AC

AC zu halbieren langt allerdings nicht. Man musste den Vektor dann auch noch um 90 Grad drehen.

Es ist allerdings zweckmäßiger alle Punkte ausgehend von M zu berechnen.

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