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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt x die Gleichung y= \( \sqrt{\frac{2}{x0}} \)*(x+x0

Es sei f: ℝ+→ℝ definiert durch f(x) = \( \sqrt{8x} \)



Problem/Ansatz:

Die allgemeine Tangentengleichung lautet ja:  tx0 (x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0)

als erstes leite ich f ab: f'(x) = \( \sqrt{\frac{2}{x0}} \)

Wenn ich dann in die Tangentengleichung einsetze komme ich auf: f'(x) = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*(x-x0)

Weiß jemand was ich falsch mache bzw. warum ich nicht auf die angegebene Tangentengleichung komme?

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Wie es scheint, ist die zu zeigende Behauptung falsch.

Ach, wie oft trügt doch der Schein.

Graphen von f im Punkt x0

x0 wird in der Regel als Stelle und nicht als Punkt bezeichnet. Punkte sollten eine x- und eine y-Koordinate haben.

√(8x0) = 2√(2x0)

Ok, nach genauerem Hinsehen nehme ich meine Behauptung zurück. Die Behauptung in der Aufgabe und der Ansatz des Fragers sind richtig. Jetzt müssen noch beide Enden zusammengeführt werden.

2 Antworten

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Beste Antwort

Weiß jemand was ich falsch mache ...

Nichts! beide Ausdrücke sind identisch: $$\begin{aligned} t_{x_0}(x) &= \sqrt{8x_0} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}(x-x_0)\\ &= 2\sqrt{2x_0} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= 2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}(x + x_0) \\ \end{aligned}$$ Gruß Werner

Avatar von 48 k

ah, super danke! Das habe ich einfach nicht gesehen!

Danke für die schnelle Hilfe.

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Form doch mal etwas um:

t(x) = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*(x-x0)

     = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*xo

= \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \(     \sqrt{2}*\sqrt{x0} \)

= \( 2\sqrt{2x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \(     \sqrt{2x0} \)

= \( \sqrt{2x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x

Und dann noch ausklammern!

Avatar von 287 k 🚀

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