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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt x die Gleichung y= \( \sqrt{\frac{2}{x0}} \)*(x+x0

Es sei f: ℝ+→ℝ definiert durch f(x) = \( \sqrt{8x} \)



Problem/Ansatz:

Die allgemeine Tangentengleichung lautet ja:  tx0 (x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0)

als erstes leite ich f ab: f'(x) = \( \sqrt{\frac{2}{x0}} \)

Wenn ich dann in die Tangentengleichung einsetze komme ich auf: f'(x) = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*(x-x0)

Weiß jemand was ich falsch mache bzw. warum ich nicht auf die angegebene Tangentengleichung komme?

von

Wie es scheint, ist die zu zeigende Behauptung falsch.

Ach, wie oft trügt doch der Schein.

Graphen von f im Punkt x0

x0 wird in der Regel als Stelle und nicht als Punkt bezeichnet. Punkte sollten eine x- und eine y-Koordinate haben.

√(8x0) = 2√(2x0)

Ok, nach genauerem Hinsehen nehme ich meine Behauptung zurück. Die Behauptung in der Aufgabe und der Ansatz des Fragers sind richtig. Jetzt müssen noch beide Enden zusammengeführt werden.

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

Weiß jemand was ich falsch mache ...

Nichts! beide Ausdrücke sind identisch: $$\begin{align} t_{x_0}(x) &= \sqrt{8x_0} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}(x-x_0)\\ &= 2\sqrt{2x_0} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= 2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}x_0 \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0}}(x + x_0) \\ \end{align}$$ Gruß Werner

von 16 k

ah, super danke! Das habe ich einfach nicht gesehen!

Danke für die schnelle Hilfe.

+1 Punkt

Form doch mal etwas um:

t(x) = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*(x-x0)

     = \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*xo

= \( \sqrt{8x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \(     \sqrt{2}*\sqrt{x0} \)

= \( 2\sqrt{2x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x -  \(     \sqrt{2x0} \)

= \( \sqrt{2x0} \)+ \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x0}} \)*x

Und dann noch ausklammern!

von 155 k

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