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Zeigen Sie: zu k ∈ ℕ gibt es ein Polynom Qk so dass xk - ak = (x-a)Qk (x)

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diesen Beweis kann man direkt führen, indem man das Polynom Qk(x) Q_k(x) angibt:

Qk(x)=i=0k1xiak1i Q_k(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-1-i} .

Eingesetzt in die Behauptung gilt:

(xa)Qk(x)=(xa)i=0k1xiak1i (x - a) Q_k(x) = (x-a) \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-1-i}

=(i=0k1xi+1ak1i)(i=0k1xiaki) = \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^{i+1} a^{k-1-i} \right) - \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-i} \right)

=(i=1kxiaki)(i=0k1xiaki) = \left( \sum_{i = 1}^{k} x^{i} a^{k-i} \right) - \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-i} \right)

=xk+(i=1k1xiakixiaki)ak = x^k + \left( \sum_{i = 1}^{k-1} x^{i} a^{k-i} - x^{i} a^{k-i} \right) - a^k

=xkak = x^k - a^k .

Damit ist der Beweis abgeschlossen. Man kann Qk(x) Q_k(x) durch Polynomdivision gemäß (xkak)/(xa) (x^k - a^k) / (x - a) konstruieren.

MfG

Mister
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