Zeigen sie dass es ein Polynom gibt

Question

Zeigen Sie: zu k ∈ ℕ gibt es ein Polynom Q_k so dass x^k - a^k = (x-a)Q_k (x)

Answer 1

diesen Beweis kann man direkt führen, indem man das Polynom $Q_k(x)$ angibt:

$Q_k(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-1-i}$.

Eingesetzt in die Behauptung gilt:

$(x - a) Q_k(x) = (x-a) \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-1-i}$

$= \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^{i+1} a^{k-1-i} \right) - \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-i} \right)$

$= \left( \sum_{i = 1}^{k} x^{i} a^{k-i} \right) - \left( \sum_{i = 0}^{k-1} x^i a^{k-i} \right)$

$= x^k + \left( \sum_{i = 1}^{k-1} x^{i} a^{k-i} - x^{i} a^{k-i} \right) - a^k$

$= x^k - a^k$.

Damit ist der Beweis abgeschlossen. Man kann $Q_k(x)$ durch Polynomdivision gemäß $(x^k - a^k) / (x - a)$ konstruieren.

MfG

Mister