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a) Zeigen Sie, dass für die n-te Partialsumme sn = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} \) der Reihe \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} \) = e gilt

|e - sn | < \( \frac{1}{n!n} \) ∀n ∈ ℕ

b) Beweisen Sie mit der Ungleichung in a) indirekt, dass e irrational ist.

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\( s_n =  \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} \)     und  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} \) = e

Beh.: |e - sn | < \( \frac{1}{n!n} \) ∀n ∈ ℕ

Beweist du durch vollständige Induktion über n.

Für n=1 hast du |e - s1 | = | e - (1/0!) - 1/1! | = e - 2

und wegen e<3 ist   e-2 < 1 =   1 / ( 1! * 1 ) .

Gelte es nun für n, also   \( |e -\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} | <\frac{1}{n!n} \) dann folgt:

 \( |e - s_{n+1} |  = |e -\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\frac{1}{k!}}  |  \)

                         \(   =\sum\limits_{k=n+2}^{\infty}{\frac{1}{k!}}  \)

                        \(   =\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}   - \frac{1}{(n+1)!} \)

                              \(   < \frac{1}{n!n}   - \frac{1}{(n+1)!} \)

                               \(   = \frac{n+1}{(n+1)!*n}   - \frac{n}{(n+1)!*n} \)

                              \(   =  \frac{1}{(n+1)!*n} \)

                               \(   <   \frac{1}{(n+1)!*(n+1)} \) q.e.d.

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