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Es sei P3[x] = {a+bx+cx2+dx3  | a, b, c, d ∈ R} die Menge der Polynome höchstens dritten Grades.
Die Addition von Polynomen in P3 [x] ist definiert durch


(a+bx+cx2 +dx3 ) + (a'+b'x+c'x2 +d'x3 ) =  (a + a') + (b + b')x + (c + c')x2 + (d + d')x3 


und die Multiplikation von einem Polynom mit einem Skalar s aus dem zugrunde liegenden Körper
R durch

s * ( a+bx +cx2 +x3 )  = (s*a)+(s*b)x+(x*c)x2 +(s*d)x3

Wir verwenden die üblichen Kurzschreibwein

• 0 für das Polynom 0 + 0x + 0x^2+ 0x^3

• 1 für das Polynom 1 + 0x + 0x^2 + 0x^3

• x für das Polynom 0 + 1x + 0x^2 + 0x^3

• x^2 für das Polynom 0 + 0x + 1x^2+0x^3

• x^3 für das Polynom 0 + 0x + 0x^3 + 1x^3


Z.Z. Die Menge B = {1, x, x^2,x^3} ist eine Basis für P3[x]




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Die Darstellung a+bx+cx^2+dx^3  zeigt doch, dass jedes

Element von P3[x] eine Linearkombination der Elemente

von B ist, also ist B ein Erzeugendensystem für P3[x] .

Außerdem sind die Elemente von B linear

unabhängig, denn a+bx+cx^2+dx^3  = 0 + 0x + 0x^2+ 0x^3  = 0

für alle x aus dem zugrundeliegenden Körper ist nur

erfüllt für a=b=c=d=0 .

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