0 Daumen
142 Aufrufe

Aufgabe:

Sei G2 die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen A mit det A = 1.

Zeigen oder wiederlegen Sie, dass G1 = G2 gilt.


Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand helfen, weil ich diese Aufgabe nicht verstehe.

(G1 war eine Aufgabe davor, indem ich muss ob G1 eine Gruppe bildet, die ich habe.)

3D912C0A-CBB0-433F-8323-DB1CADF505AF.jpeg

vor von

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Es ist G1 = G2; denn :

Sei A ∈ G1 .  Allgemein gilt für

$$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ immer  #

$$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

wegen  det(A)=1 ist also A^(-1) auch ganzzahlig und wegen

1 > 0 ist det(A) > 0. Also A∈ G2.

Sei umgekehrt  A∈ G2 , also A^(-1) ganzzahlig.

Wegen # ist also det(A) ein gemeinsamer Teiler von a,b,c,d.

und laut Vor. det(A) > 0 .

Wäre der gemeinsame Teiler ein t größer als 1,   ##

dann gäbe es u,v,w,x ganzzahlig mit

$$A=\begin{pmatrix} t*u & t*v \\ t*w& t*x \end{pmatrix}$$

und damit det(A) = t*u*t*x - t*v*tw = t^2 * (u*x-v*w)

                         = t^2 * det(A)

Und wegen det(A) > 0 also  t^2 = 1 im Widerspruch zu ##.

Also ist det(A)=1.

vor von 155 k

Okay vielen Dank :)

+2 Daumen

Ich denke Sie sind auf dem richtigen Weg.

vor von

 ich war unsicher gewesen, wie man bei der Aufgabe d) wie man dies beweisen kann

Davor hat gedacht, dass G1=G2 mit der Injektivität zutun hat, aber da lag ich falsch irgendwie.

Samuel H...ein geschickter Meister der Tarnung. ;-)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...