+1 Daumen
904 Aufrufe

Aufgabe: Sei $$f : [ 0 , \infty ) \rightarrow ( 0 , \infty )$$ stetig und es gelte $$f ( x ) < 1 / x \text { für alle } x > 0.$$

a) Zeigen Sie, dass f ein Maximum $$f _ { \max } : = \max _ { x \in [ 0 , \infty ) } f ( x )$$ hat.

b) Begründen Sie, dass gilt $$f ( [ 0 , \infty ) ) = \left( 0 , f _ { m a x } \right].$$

Avatar von

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass f ein Maximum fmax := maxx∈[0,∞) f(x) hat | Begründen Sie, dass gilt f([0,∞)) = (0,fmax].

Stichworte: maximum,stetig

Sei f : [0, ∞) → (0,∞) stetig und es gelte f(x) < 1 / x für alle x > 0.

a) Zeigen Sie, dass f ein Maximum fmax := maxx∈[0,∞) f(x) hat.

b) Begründen Sie, dass gilt f([0,∞)) = (0,fmax].

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

a)  Wir zeigen \(f([0,\infty)) \) ist eine nicht leere nach oben beschränkte Menge, somit existiert das Supremum.
f ist stetig in 0, also für \(\epsilon=1 \) gibt es \( \delta>0\) mit \(|f(0)-f(x)|<1 \) für alle \( x \) mit \( |x|<\delta\).
Ist \( x\in [\delta,\infty)\), dann gilt \( f(x)<1/x\leq1/\delta\).
Ist \(x \in [0,\delta) \), dann ist aufgrund der Umgekehrten Dreiecksunglechung
\(1>|f(0)-f(x)|\geq f(x)-f(0) \)
\(1+f(0)\geq f(x) \)

Also existiert \(f_{sup} \in (0,\infty)\). Nach Definition gibt es Folge \( (x_n)_n \) in \(  [0,\infty)\) mit
\( f(x_n)\to f_{sup} \)
Wir zeigen nun, dass \( (x_n)\) beschränkt ist und damit konvergente Teilfolge besitzt. Andernfalls wäre
\( x_n \to \infty \), aber dann \( 0< f(x_n)<1/x_n \) für genug große \( n \), daher
\( f(x_n)\to 0 = f_{sup} \notin (0,\infty)\). Widerspruch.

Sei nun \( (x_{n_k})\) die Teilfoge mit \( x_{n_k}\to y \in (0,\infty)\), dann gilt
\(f(y)=\lim_{k\to \infty} f(x_{n_k})=f_{sup} \)
Somit \( f_{\sup} \in f([0,\infty)\), qed.

b) \("\subseteq" \) hoffe ist klar.
\( "\supseteq" \) Sei \( y \in (0,f_{max}]\) und ohne Einschränkung \( y\neq f_{\max} \) (sonst ist klar). Sei \( m \in [0,\infty) \) die Zahl, für die das Maximum angenommen wird: \( f(m)=f_{\max} \).
Wir müssen zeigen, dass es ein \( x \in [0,\infty)\) gibt mit \(f(x)=y \).
(Intuition: ähnlich wie Mittelwertsatz, aber hier ist Intervall nicht abgeschlossen)
Wir zeigen es gibt ein \( a\in [0,\infty)\) mit \(f(a)<y \). In der Tat für \(a=1/y \)
\( f(1/y)<1/(1/y)=y\)
Und insgesamt
\(f(a)<y<f(m) \)
Anwendung des MIttelwertsatzes auf die Einschränkung von \( f\) auf \( [a,m]\) liefert ein \( x \in [a,m]\)
mit \( f(x)=y\)

Bitte frag, falls etwas nicht klar ist:)

Avatar von

Vielen Dank!

Kannst du mir bei 2.a den Schritt mit der umgekehrten Dreiecksungleichung erklären und

die Teilaufgabe 2.b etwas kleinschrittiger.

Der erste Teil ist noch verständlich aber beim Rest blicke ich nicht ganz durch.

Mit freundlichen Grüßen Brook :)

Die umgekehrte Ungleichung braucht man eigentlich nicht, denn es ist ja $$|f(0)-f(x)|=|f(x)-f(0)|\geq f(x)-f(0)$$ nach Definition des Betrags.
Was ist genau bei b) nicht klar?

0 Daumen

Nimm einmal an, x=10-n für n∈ℕ. Dann ist 1/x=10n und wächst damit für geeignete n über alle Grenzen. Selbst ein Wert f(x), der ja kleiner sein soll als 1/x ist dann beliebig groß. Wie soll es denn da ein Maximum der Funktionswerte geben?

Avatar von 123 k 🚀
Selbst ein Wert f(x), ... ist dann beliebig groß.

Das wirst du kaum beweisen können.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community