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Aufgabe:

Wie lautet die explizite Bildungsvorschrift?

Ich habe das hier gegeben:$$ a_0=2, \\ a_1=4, \\ a_{n+2} = 4\cdot a_{n+1}-a_{n} $$

Problem/Ansatz:

von

so?

a_{n+2}=4*a_{n}+1-a_{n}

Steht dort 100% a_{n+2}, oder doch  a_{n+1}

Du kannst diese Vorschrift hier eingeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a_(n%2B2)%3D4*a_(n%2B1)-a_(n)

Nun mit Hilfe der Anfangswerte noch C1 und C2 bestimmen.

Skärmavbild 2019-01-16 kl. 14.38.03.png

2 Antworten

+1 Punkt

\(a_n=(2-\sqrt3)^n+(2+\sqrt3)^n\).

von 1,3 k

Da steht a n+2 wie bist du auf die Lösung gekommen?

an+2=4•an+1 -a

So lautet die rekursive Formel 

So, ich habe mal dem Hinweis im letzten Kommentar folgend, den Startbeitrag so gesetzt, wie er gemeint war. Diesbezügliche und jetzt redundante Kommentare können bei Gelegenheit gelöscht werden.

Hallo Spacko.

Könntest du vielleicht noch einen Tipp geben wie man auf die explizite Darstellung kommt?

Das das die explizite Darstellung ist lässt sich relativ einfach mit google ermitteln.

Wie bist du darauf gekommen. ?

Ein Hinweis zur Quelle wurde hier gegeben:

https://www.onlinemathe.de/forum/Bildungsvorschrift

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Hallo,

man kann so eine explizite Bildungsvorschrift auch mit Hilfe der Linearen Algebra lösen. Die englische Wikipedia-Seite hinter dem Hinweis zur Bildungsvorschrift von abakus habe ich ehrlich gesagt nicht so verstanden. Kann sein, dass dort das gleiche beschrieben wird wie dies hier ;-)

Die (rekursive) Bildungsvorschrift in einer Matrizenform für \(a_1\) und \(a_2\) sähe z.B. so aus:$$\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{0} \\ a_{1} \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ und für das \((n+1)\)'te Element:$$\begin{pmatrix} a_{n} \\ a_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}^n \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix} = A^n \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}$$Nun bringt man \(A\) in die Form \(A= S \cdot D \cdot S^{-1}\), wobei \(D\) eine Diagonalmatrix ist. Siehe 'https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalisierbare_Matrix'. Mit der Idee, dass$$A^n = S \cdot D^n \cdot S^{-1}$$Hier ist$$S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2+\sqrt 3 & 2 - \sqrt 3\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2+\sqrt 3 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt 3\end{pmatrix}$$und \(S^{-1}\) ist:$$S^{-1} = \frac 1{2 \sqrt 3} \begin{pmatrix} \sqrt 3 -2 & 1 \\ \sqrt 3 +2 & -1 \end{pmatrix}$$Jetzt noch die erste Zeile dieses Ausdrucks ausmultiplizieren:$$\begin{pmatrix} a_{n} \\ a_{n+1}\end{pmatrix} = S \cdot D^{n} \cdot S^{-1} \begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix} $$und am Ende kommt tatsächlich raus:$$a_n = (2- \sqrt 3)^n + (2 + \sqrt 3)^n$$ Gruß Werner

von 18 k

Danke

 Eine frAge noch wie berechnet man S ?

... wie berechnet man S ?

Die Spalten in \(S\) sind die Eigenvektoren von \(A\) und in der Diagonale von \(D\) stehen die zugehörigen Eigenwerte.

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix; also die Lösungen von:$$-\lambda(4-\lambda) + 1 = 0$$und wie man daraus den Eigenvektor bestimmt, steht dann u.a. hier oder hier.

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