Binomialverteilung:
a) Es erscheint mehr als 120 mal Kopf.$$P(X>120)=\sum_{k=121}^{250}{\begin{pmatrix} 250 \\ k\end{pmatrix}}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k\cdot \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)\right)^{250-k}$$$$P(X>120)\approx 0.715$$b) Es erscheint weniger als 128 mal Kopf.$$P(X<128)=\sum_{k=0}^{127}{\begin{pmatrix} 250 \\ k\end{pmatrix}}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k\cdot \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)\right)^{250-k}$$$$P(X<128)≈ 0.624$$c) Mindestens 115 mal und höchstens 135 erscheint der Kopf.$$P(115≤X≤135)=\sum_{k=115}^{135}{\begin{pmatrix} 250 \\ k\end{pmatrix}}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k\cdot \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)\right)^{250-k}$$$$P(115≤X≤135)≈ 0.816$$ Wenn das dein Taschenrechner nicht kann, dann überprüfe, ob du die binomialverteilte Zufallsvariable durch die Normalverteilung approximieren kannst.
Approximation durch Normalverteilung:
(1) Überprüfe, ob die Laplace-Bedingung erfüllt wird:$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{250\cdot 0.5^2}≈ 7.91>3$$ Da die Laplace-Bedingung erfüllt wird, da die Standardabweichung \(\sigma\) größer als 3 ist, so können wir die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximieren.
(2) Berechne den Erwartungswert \(\mu\)
Für den Erwartungswert gilt \(\mu=n\cdot p=250\cdot 0.5=125\)
(3) Wahrscheinlichkeit berechnen
Ich nehme hier jetzt nur das letze Beispiel, die funktionieren aber alle relativ analog:$$\displaystyle\text P(115\leq \text X\leq 135)\approx\Phi\left(\frac{135+0,5-125}{\sqrt{250\cdot 0.5^2}}\right)-\Phi\left(\frac{115-0,5-125}{\sqrt{250\cdot 0.5^2}}\right)$$$$\displaystyle\text P(115\leq \text X\leq 135)\approx\Phi\left(1.33\right)-\Phi\left(-1.33\right)$$$$\displaystyle\text P(115\leq \text X\leq 135)\approx\Phi\left(1.33\right)-(1-\Phi\left(1.33\right))$$ Die Werte für \(\Phi(...)\) kannst du einer Standardnormalverteilungstabelle entnehmen:$$\displaystyle\text P(115\leq \text X\leq 135)\approx0.90824-(1-0.90824)≈ 0.81648$$ Das nenne ich mal eine gute Approximation, nicht wahr?
