0 Daumen
687 Aufrufe

Aufgabe:

Es sei der folgende Unterraum des Q4 gegeben:

blob.png

1 - Bestimme ein Erzeugendensystem für U , das aus zwei Vektoren besteht 

------------------

Es sei der folgende Unterraum des Q4 gegeben:

blob.png

Bestimme die Koeffizienten zweier homogener linearer Gleichungen derart, dass W gerade die Lösungsmenge im Qdes zugehörigen Gleichungssystems ist:

Erste Gleichung:

x4 = 0

Zweite Gleichung:  

x4 = 0

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

1)  Am besten kombinierst du die beiden Gleichungen so, dass genau eine

Variable eliminiert wird. Z.B. durch

5* 1.Gleichung + 13 * 2. Gleichung, das gibt

x1  - x2  +0x3 + x4 = 0

Da die beiden Gleichungen lin. unabhängig sind, kannst du

ja zwei Variablen frei wählen ( etwa x1=s und x2=t ) und berechnest

damit x4:       s - t + x4 = 0

              also    x4 =  t - s

und mit einer der Anfagsgleichungen dann x3, etwa mit der zweiten):

            8*s  +  12*t  +5x3  -8(t-s) = 0

                    8*s  +  12*t  +5x3  -8t + 8s = 0

                                        5x3 =  -16s - 4t

                                          x3 = -3,2s - 0,8t

Also sehen die Lösungen alle so aus

(x1;x2;x3;x4)=(s;t; -3,2s - 0,8t;t-s)

                = s* ( 1 ; 0 ; -3,2 ; -1 ) + t * ( 0 ; 1 ; -0,8 ; 1 ) .

Das gesuchte Erzsyst. ist also z.B. (Geht auch anders.)

         ( 1 ; 0 ; -3,2 ; -1 )   ,    ( 0 ; 1 ; -0,8 ; 1 ) .

2. Teil:

Dein Gleichungssystem wird von allen Vektoren aus Q^4 erfüllt.

Du ,musst dich schon an den vorgegebenen orientieren:

Die Lösungsmenge soll also aus Linearkombinationen der

beiden gegebenen Vektoren bestehen.

s*1.Vektor + t* 2. Vektor gibt:

(  5s-3t;-8s + 5t ; 8s - 5t ; -16s + 10t )

Und diese 4 Komponenten in die Gleichung vom Typ

ax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0  eingesetzt müssen

also immer eine wahre Aussage  ergeben.   Dazu braucht man

irgendwelche abcd.

a*( 5s-3t)  + b*(-8s + 5t)  + c*( 8s - 5t )  + d* (  -16s + 10t ) = 0

<=> s* ( 5a-8b+8c-16d) + t*(-3a +5b -5c +10d)=0

und jetzt so wählen; dass beide Klammern 0 werden, z.B.

c=0 und d=1

  5a-8b = 16     und   -3a  ´+ 5b  = -10

also a=0 und b=-2

Entsprechend mit c=1 und d=0

   5a-8b = -8      und   -3a  ´+ 5b  = 5

also a=0 und b=1 .

Dann sind die gesuchten Gleichungen

       -2x2  + x4 = 0   und

         x2 + x3  = 0

Diese beiden Gleichungen sind linear unabhängig

und die Lösungsmenge ist also 2-dimensional

und beide Erzeugenden von W erfüllen das

System.




Avatar von 287 k 🚀

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community