Potenzen wachsen schneller als Polynome / Fakultäten schneller als Potenzen

Question

ich habe folgendes Problem und zwar die folgenden beiden Aufgaben:

Aufgabe 1:

Seien k∈ℕ und b > 1. Zeigen Sie, dass gilt

lim(n→∞) n^k/bⁿ = 0

sowie:

Aufgabe 2:

Sei b beliebig. Zeigen Sie, dass gilt

lim(n→∞) bⁿ/n! = 0

Als Hinweis wird für beide Aufgaben wird gegeben:

Ist (an)n∈ℕ Folge so, dass a_n+1/a_n für fast alle n definiert ist mit der Eigenschaft 0 ≤ C < 1 : |a_n+1/a_n| ≤ C
Dann ist (a_n)_n∈ℕ eine Nullfolge

Bemerkung: Dies ist insbesondere anwendbar wenn die Folge (|an+1/a_n|)_n≥0 gegen eine Zahl 0 ≤ C < 1 konvergiert.

Comments

Hallo habe das selbe Problem, aber einen Ansatz der mich aller dings nicht weiterbringt: Habe wie folgt eingesetzt ((n^k/b^k)+1)/n^k/b^n = (b^n*((n^k/b^n)+1))/n^k = (n^k+b^n)/n^k = n^k/n^k + b^n/n^k  lass ich das nun gegen Unentlich alufen bzw. n gegen unendlich laufen steht da 1-0=C was ja nicht sein darf.....

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okay hab meinen fehler b > 1 somit läuft er Term gegen 1-1=C also geht das auf .hoffe konnte dir helfen! ps du hast aufjedenfall mir geholfen danke

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mist doch nicht erst denken dann schreiben hab + und minus vertauscht 1+1 seht da also gehts nicht auf....

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also ich habe es glaube jetzt wirklich. du hast glaub ich den selben fehler gemacht wie ich. du hast a(n)+1 (n in den index) und nicht a(n+1) in den in den index. jetzt kannst du das einfach einsetzen und fertig bekommst raus 1/2*(1+1/n^k) →1/2*1 = 1/2 also hast du ein C kleiner als 1 somit ist das ganze eine Nullfolge

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Oh tatsache da hab ich meine eigene Handschrift falsch entschlüsselt... das + 1 gehört selbstverständlich mit in den Index.

Allerdings ist deine Notation etwas konfus, so das ich mir nicht sicher bin ob ich dies richtig gedeutet habe. Wäre nett wenn du es einmal klar verständlich erläuterst was genau du wo gemacht hast ? Danke.

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tut mir leid ich kann leider nicht die Formatierung nutzen da ich auf einenTablet schreibe. Du musst einfach a(n)=n^k/b^n in die gleichung a(n+1)/a(n) 'einsetzen und diese gegen n→nendlich laufen lassen

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a_n+1/a_n und dafür setzt man dann (n+1^k/bⁿ⁺¹) / (n^k/bⁿ) ein ? 
...nein das passt nicht das Konvergiert gegen +∞
ich muss da irgend nen gewaltigen denkfehler drin haben...
 

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geht auf: (n+1)^k/b*n^k= (1/b)*(1+1/n)^k

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(|an+1/a_n|)_n≥0

Soll vermutlich

(|_an+1/a_n|)_n≥0

sein. Oder? 

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe 1: Zeigen, dass $\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{b^n} = 0$ für $k \in \mathbb{N}$ und $b > 1$

Um diese Aufgabe zu lösen, betrachten wir die Folge $a_n = \frac{n^k}{b^n}$ und zeigen, dass sie eine Nullfolge ist. Dazu verwenden wir den gegebenen Hinweis und berechnen das Verhältnis $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ für fast alle $n$.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^k}{b^{n+1}}}{\frac{n^k}{b^n}} = \frac{(n+1)^k \cdot b^n}{n^k \cdot b^{n+1}} = \frac{(n+1)^k}{n^k \cdot b}$

Vereinfachen wir weiter, erhalten wir:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^k \cdot \frac{1}{b} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^k \cdot \frac{1}{b}$

Für große $n$ nähert sich $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k$ immer mehr 1 an, und da $b > 1$, erhalten wir, dass das Produkt $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k \cdot \frac{1}{b}$ kleiner als 1 wird für genügend große $n$. So konvergiert $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ gegen eine Zahl $0 \leq C < 1$, und nach dem gegebenen Hinweis ist $(a_n)$ eine Nullfolge. Das beweist, dass $\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{b^n} = 0$.

Aufgabe 2: Zeigen, dass $\lim_{n \to \infty} \frac{b^n}{n!} = 0$

In diesem Fall betrachten wir die Folge $a_n = \frac{b^n}{n!}$ und berechnen wieder das Verhältnis $\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{b^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{b^n}{n!}} = \frac{b^{n+1} \cdot n!}{b^n \cdot (n+1)!} = \frac{b}{n+1}$

Es ist leicht zu sehen, dass $\frac{b}{n+1}$ gegen 0 strebt, wenn $n$ gegen Unendlich geht. Das bedeutet, für genügend große $n$, ist $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ immer kleiner als eine Konstante $C < 1$, was impliziert, dass die Folge $(a_n)$ eine Nullfolge ist. Daher ist $\lim_{n \to \infty} \frac{b^n}{n!} = 0$.

Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass Potenzen von $n$ (Polynome) langsamer wachsen als exponentielle Funktionen und dass exponentielle Funktionen langsamer wachsen als die Fakultätsfunktion, indem wir die Eigenschaften von Grenzwerten von Quotienten aufeinanderfolgender Glieder von Folgen genutzt haben.