Beweis Abbildung Gruppe mit Matrix.

Question

Aufgabe

Wir betrachten die Menge S3 der bijektiven Abbildungen über {1,2,3}.
Beweisen oder widerlegen Sie: Die Struktur (S3, ;) ist eine Abelsche Gruppe.

Dabei ist die Verknpfung hierbei die Komposition von Abbildungen.

Hilfestellung:

Schreiben Sie die Elemente von S3 als Matrizen der Form

1 2 3
x y z

mit
x, y, z ∈ {1,2,3}.. Eine solche Matrix repräsentiert eine Abbildung mit 1 → x, 2-->y, 3-->y

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre eben, dass ich die Matrix irgendwie mit einer anderen Matrix in Komposition bringen muss,

aber genauer weiß ich es leider auch nicht.

Wäre das neutrale Element

x y z

x y z

?

Comments

Tipp: S₃ ist eine Gruppe und nichtabelsch.

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Stimmt dann das neutrale Element?

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Das neutrale Element ist die identische Abbildung, die jedes Element auf sich selbst abbildet.
In dieser Schreibweise also \(\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}\).

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Aber Wie verknüpfe ich denn die Abbildung bzw. dann als Matrix geschrieben?

Also wenn ich 2 Elemente aus der Menge nehme, also 2 FUnktionen?

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Und ist das inverse Element dann die Umkehrabbildung, also:

x y z

1 2 3

?

Wie zeige ich dann, dass es abgeschlossen ist und nicht abelsch mit den Matrizen?