Beweis Gruppe Abbildung

Question

ich habe so meine Probleme mit dem Beweisen von Gruppen und Abbildungen... Habe jetzt lange herumgesucht und versucht zu verstehen aber die Transferleistung klappt noch nicht so recht bei mir.

Folgende Aufgabe:

Sei M=leere Menge, Abb(M) = f: M -->M , Bij(M) : f: M --> M bij

a) Abb(M), Kringel) ist keine Gruppe, sobald M mind 2 Elemente hat

b) (Bij(M), Kringel ist eine Gruppe gilt kommutativ?

die sachen stellen rein eine übung zur zeitknappen klausur nächste woche dar...

Answer 1

Sei M=  NICHT leere Menge, Abb(M) = f: M -->M , Bij(M) : f: M --> M bij

a) Abb(M), Kringel) ist keine Gruppe, sobald M mind 2 Elemente hat

Denn dann gibt es mindestens a,b ∈ M und a≠b.

Und mindestens eine Abb. f:M --> M mit f(a) = f(b) = a.

Dieses f besitzt kein inverses Element; denn dazu müsste

ja f^-1(a) = a und f^-1(a)=b gelten, was wegen a≠b nicht möglich ist.

b) (Bij(M), Kringel ist eine Gruppe gilt kommutativ?

Hier musst du nur zeigen, dass die Gruppeneigenschaften (Axiome)

gelten, also 

Abgeschlossenheit:  Wenn f und g bijektiv sind, dann auch fog .

Assoziativität: Gild bei Abbildungen immer:

                         (fog)oh = fo(goh)

Neutrales El:  id_M ist bijektiv 

zu jedem ein inverses:  Mit f ist auch f^-1 bijektiv

Also ist  ( Bij(M), o ) eine Gruppe.

Wenn M mindestens 3 versch. El  a,b,c hat, ist es nicht kommutativ,

denn dann gibt es f und g mit 

f(a)=b   f(b)=c   f(c)=a   und 

g(a)=a  g(b)=c   g(c)=b 

aber 

f(g(a))= f(a)=b und g(f(a))=g(b)=c

also (fog)(a) ≠ (gof)(a):

Comments

vielen dnak mathef für die antwort!

a) hab ich nun verstanden!

b) gilt grundsätzlich für eine identität, dass es ein neutrales element gibt ?

und die bijektivität gilt also ab 3 verschiedenen elementen nicht mehr richtig ?

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b) gilt grundsätzlich für eine identität, dass es ein neutrales element gibt ?

Besser:  Bei der Hintereinanderausführung von Abbildungen ist

immer die Identität das neutrale Element; denn 

f o id = id o f = f  für jede Abbildung f.


und die Kommutativität bei der Hintereinanderausführung

bijektiver Abbildungen  gilt bei 3 oder mehr  verschiedenen Elementen

in der zugrundeliegenden Menge nicht !