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Aufgabe:

A = 0,73*A + 0*B + 0,27*C
B = 0,10*A + 0,38*B + 0,35*C
C = 0,16*A + 0,63*B + 0,38*C
(A + B + C = 1)


Problem/Ansatz:

ich versuche diese Aufgabe zu lösen, aber ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich vorgehen soll. Am Ende sollen für A, B und C Werte rauskommen. Am besten mit dem Gaußschen Algorithmus lösen oder? Und wie? Bin leicht überfordert. Dankeschön

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3 Antworten

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(1) A = 0,73*A  + 0,27*C
(2) B = 0,10*A + 0,38*B + 0,35*C
(3) C = 0,16*A + 0,63*B + 0,38*C

Dieses System hat die Lösungen A=B=C=0 (egal, nach welchem Verfahren).

Der Zusatz (A + B + C = 1) kann nicht erfüllt werden.

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A = 0,73*A + 0*B      + 0,27*C
B = 0,10*A + 0,38*B + 0,35*C
C = 0,16*A + 0,63*B + 0,38*C
(A + B + C = 1)

Die ersten 3 ergeben ja

0 = -0,27*A + 0*B + 0,27*C
0 =  0,10*A - 0,62*B + 0,35*C
0 = 0,16*A + 0,63*B - 0,62*C

Mit Gauss gibt das

0 = A             - C
0 =         B    -0,73C
0 =                   C

Einzige Lösung A=B=C=0.

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Dieses System hat die Lösungen A=B=C=0 (egal, nach welchem Verfahren). Der Zusatz (A + B + C = 1) kann nicht erfüllt werden.

Ja ja - die Mathematiker. Die nehmen alles so genau; was ja auch richtig ist. Es gibt da aber noch die praktische Sicht auf die Dinge. Ich nehmen mal an, dass es sich bei dem obigen Gleichungssystem um eine Übergangsmatrix handelt. Die Werte sind wahrscheinlich gerundet!

Das Problem ist, dass die Spaltensummen \(\ne 1\) sind. Ich manipuliere die Übergangsmatrix \(U\) etwas:$$U^* = \begin{pmatrix}\colorbox{#ffff00}{0.74}& 0& 0.27\\ 0.1& 0.38& 0.35\\ 0.16& \colorbox{#ffff00}{0.62}& 0.38\end{pmatrix}$$so dass die Spaltensummen exakt \(=1\) sind und erhalte:$$\begin{pmatrix}A\\ B\\ C\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.37483\\ 0.26422\\ 0.36095\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.37\\ 0.26\\ 0.36\end{pmatrix}$$... wieder gerundet versteht sich. Probe mit der Originalmatrix mit den gerundeten Werten:$$\begin{pmatrix}0.73& 0& 0.27\\ 0.1& 0.38& 0.35\\ 0.16& 0.63& 0.38\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0.37\\ 0.26\\ 0.36\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.37\\ 0.26\\ 0.36\end{pmatrix}$$auf 2 Stellen hinter dem Komma gerundet ist das Ergebnis korrekt!


Man kann einen stabilen Wert auch ganz anders bestimmen. Man wählt einen beliebigen Startwert - z.B.:$$A = 0,35; \space B = 0,52 ; \space C = 0,13$$(s. Kommentar unten) und multipliziert damit die Matrix und mit dem Resultat wieder usw. Dazwischen normiert man den Vektor derart, dass die Koordinatensumme immer =1 ist. Man erhält (auf 2 Nachkommastellen gerundet):$$\begin{pmatrix} 0,35 \\ 0,52 \\ 0,13 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0,29 \\ 0,28 \\ 0,43 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0,33 \\ 0,29 \\ 0,39 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0,34 \\ 0,28 \\ 0,38 \end{pmatrix} \dots $$nach ca. 8 Schritten hat man das oben beschriebene Ergebnis.

Gruß Werner

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vielen Dank für eure Antworten. Irgedwie bin ich trotzdem noch verwirrt, da auch in der Lösung steht, dass A = 0,35; B = 0,52 und C = 0,13 ist. Es ist aber eine Fluktuationsmatrix (Markov-Modell). Ich habe im Internet nicht wirklich etwas hilfreiches finden können im Bezug auf diese drei Gleichungen. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und ich bedanke mich im Voraus!

.. da auch in der Lösung steht, dass A = 0,35; B = 0,52 und C = 0,13 ist.

... das könnte ein Startwert sein, ist aber mit Sicherheit nicht die Lösung. Zumindest nicht für diese Matrix, die oben in der Aufgabenstellung steht.

Auch eine Fluktuationsmatrix ist eine Übergangsmatrix. In diesem Fall eben von Käuferanteilen bei Marken, die sich von einer Periode zur nächsten ändern.

Ich habe die Antwort dahin gehend nochmal erweitert. Dort siehst Du dann wie man von einem (beliebigen) Startwert zum Ergebnis kommt. Das Ergebnis ist natürlich das selbe wie vorher.

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