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ich benötige Hilfe bei dieser Aufgabe $$\left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}  \right)^{2011} = \space ?$$

Ich soll die Lösung in der Normalform x+iy angeben. Der Nenner bereitet mir dabei große Probleme, klar könnte man das Ganze in Polarform umwandeln, aber das ist mir zu aufwendig (ist nämlich eine Altklausuraufgabe mit nur 2 Punkten). Gibt es einen schnelleren Weg?

Schon mal vielen Dank für Hilfe.

von

2 Antworten

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Beste Antwort
Ja , das geht über die Polarform.

Nö - nicht unbedingt. Man könnte den Ausdruck ja zunächst quadrieren. Es ist$$\left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right)^2= \frac 12 - \frac{2i}{2} - \frac 12= -i$$und nochmal quadrieren gibt $$(-i)^2=-1$$ist doch schon viel weniger komplex - oder?

Also ist$$\quad \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right)^{2011} \\ = \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right)^{2008+3} \\ = \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right)^{3} \\ = (-i) \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) \\= \frac 1{\sqrt 2} (1 + i)$$

von 43 k
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= (-1)/√2  + i  1/√2 = x +iy

Das ist doch schon die Lösung. Wie lautet die genaue Aufgabe?

von 115 k 🚀

Das ganze noch hoch 2011, also der Exponent muss weg.

 In der Aufgabe steht nur, dass man das berechnen soll und in Normalform angeben soll.

Ja , das geht über die Polarform.

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