Dimension eines Vektorraumes mit Parametern

Question

Folgende Aufgabe: Sei V der ℝ-Vektorraum

{\( \begin{pmatrix} a+b & b+c+d \\ b+d & c \end{pmatrix} \)  ∈ R^2x2  | a, b, c, d ∈ ℝ}

Bestimmen sie die Dimensionen.

Mein Ansatz war, die Dimensionsformen Dim(V) = n - Rank(A) anzuwenden. Dazu habe ich die gegebene Matrix auf Zeilen-Stufen-Form gebracht und Rank(A)=2 herausbekommen. Da das gegebene n wohl 2 ist, wäre die Dimension 0 und es handelt sich um den Nullvektorraum. Ist das richtig? Es kommt mir nämlich komisch vor.

Danke für jede Antwort!

Comments

Warum ist n=2?

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ich dachte weil R^2x2  ist

Answer 1

Versuche doch eine Basis zu finden, indem du linear unabhängige Matrizen

suchst, mit denen du jede solche Matrix darstellen kannst.  Vielleicht so   M1=

1  0
0  0               M2 =

1  1
1  0             M3 =

0   1
0   1         M4=

0   1
1   0

Dann gilt für jedes M ∈ V

M = a*M1 + b*M2 + c*M3 + d*M4

die 4 sind aber nicht linear unabhängig

(rechne mal nach )

M1+M4=M3

M3 kann man also weglassen und

hat dann (die restlichen sind lin. unabh.)

eine Basis mit 3 Elemneten

 also dim=3

Comments

Mega guter Ansatz, wäre ich nicht drauf gekommen! Danke für die gute Erklärung, bin frisch im Studium und gewöhne mich noch an höhere Mathematik. Vielen vielen Dank!!