Integral von f(x) = x^2 /(Wurzel(9-x^2))

Question

f(x) = x²/ (√(9 -x²)  dx

Lösung über Substitution oder Ausklammern im Nenner?

kann jemand den Rechenweg genau darstellen?

Comments

Die Syntax ist verwirrend und nicht eindeutig.

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Soll wohl heißen f(x) = x²/√(9 -x²) · dx

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f(x) = x^{2}/√(9 -x^{2}) · dx

Was genau denkst du, soll da integriert werden?

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

∫(x^2)/(✓(9 -x^2) )dx

Substituiere x=3 sin(z)

dann bekommst Du

=9 ∫ sin^2(z) dz

usw.

Comments

∫ 9 sin² (x)/ √(9-9sin²(x)  (3cos(x)) dx - ist das die Lösung?

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der Rest:

.....................................

Answer 2

∫ 9 sin^2 (x)/ √(9-9sin^2(x)  (3cos(x)) dx - ist das die Lösung?
Noch nicht ganz

= ∫ 9 sin^2 (x)/ (3*√(1-sin^2(x)) * (3cos(x)) dx

=  3*  ∫  sin^2(x)/ √cos^2(x) * (3cos(x)) dx

=  3*  ∫  sin^2 (x)/ √cos^2(x) * (3cos(x)) dx

=  3*  ∫  sin^2 (x)/ cos(x) * (3cos(x)) dx

=  9  ∫  sin^2 (x) dx  bzw. damit es keine Verwirrung gibt

=9 ∫ sin^2(z) dz

=  9z/2 - sin(z)*cos(z)/ 2   und jetzt wieder

sin(x) = z   bzw  z = sin^(-1)(x) einsetzen gibt

= 9 sin^(-1)(x)  / 2 - x *√(9 -x^2) / 2

Zur Kontrolle mal ableiten:

9/ (2*√(9 -x^2))  -  (  1 *√(9 -x^2) / 2   + x * - x / 2*√(9 -x^2))

= ( 9  + x^2 ) / (2*√(9 -x^2))  -  (  1 *√(9 -x^2) / 2  )

= ( 9 + x^2 ) / (2*√(9 -x^2))  -  (  1 *√(9 -x^2)*√(9 -x^2) / ( 2*√(9 -x^2))  )

=  ( 9 + x^2 ) / (2*√(9 -x^2))  -  (  (9 -x^2) / ( 2*√(9 -x^2))  )

=  ( 9 +x^2 - 9 + x^2 ) / (2*√(9 -x^2))

= ( 2x^2 / (2*√(9 -x^2))  =  f(x)    Bingo !