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Aufgabe:

f: V —> W sei eine lineare Abbildung

Warum ist die dim(W) >= dim(V), wenn f injektiv ist?

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Wenn f injektiv ist, dann ist das Bild der Basis linear unabhängig.

Angenommen die Vektoren \(v_1,\dots,v_n\) sind linear unabhängig.

Sind die Vektoren \(f(v_1),\dots,f(v_n)\) nicht linear unabhängig, dann gibt es \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), so dass mindestens ein \(\lambda_i\neq 0\) ist und \(\sum_{i=1}^n\lambda_i f(v_i) = 0\) ist. Wegen der linearität von \(f\) ist dann auch \(f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i\right) = 0\). Wegen der linearen Unabhängigkeit der \(v_i\) ist \(\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i\neq 0\). Also ist \(f(v) = f(0)\) für ein \(v\neq 0\), im Widerspruch zur Injekltivität von \(f\).

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