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Aufgabe:

Ein Erdenjahr besitzt eine Dauer von ca. 365 Tagen, 5 Stunden, 48 Minuten und 45,3 Sekunden.
a) Stellen Sie diese Zeitangabe in Tagen als einen unechten Bruch dar.
b) Geben Sie für diesen Bruch die komplette Kettenbruchentwicklung bis zum 8. Glied an. Das bedeutet eine Darstellung der Form: [b0; b1, . . . b8].
c) Nutzen Sie diese Kettenbruchdarstellung und berechnen Sie den Dezimalbruch bis zum ersten Glied [b0; b1]. Warum kann man aus dieser Näherung erkennen, dass alle vier Jahre ein Schaltjahr einzufügen ist?


Problem/Ansatz:

Den unechten Bruch habe ich ziemlich genau mit 73047764861/200000000 angegeben. Aber mit dem Kettenbruch habe ich Probleme.

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Den unechten Bruch habe ich ziemlich genau mit 73047764861/200000000 angegeben.

... sind 365 Tage, 5 Stunden, 43 Minuten und ca. 54,4 Sekunden.

Versuche mal: 105189751/288000105189751/288000; der Nenner wäre dann auch nicht so groß.

2 Antworten

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Hallo olirei,

Aber mit dem Kettenbruch habe ich Probleme.

Mal angenommen Du hast einen Bruch p/qp/q, wobei pp und qq natürliche Zahlen sind. Dieser soll als (regulärer) Kettenbruch dargestellt werden. Das sieht ganz allgemein so aus:

pq=b0+1b1+1b2+1b3+\frac pq = b_0 + \frac 1{b_1 + \frac 1{b_2 + \frac 1{b_3 + \dots}}}Jetzt ist die Frage: wie kommt man zu den einzelnen Werten von b0,b1,b_0,\, b_1, \dots? Dazu muss man wissen, dass jeder Teilbruch im Kettenbruch <1<1 ist, da im Zähler eine 11 und im Nenner eine natürliche Zahl plus noch etwas steht.

Wenn man nun eine Division mit Rest auf der linke Seite der Gleichung durchführt ...pq=nq+rq=n+rq,r<q\frac pq = \frac{n \cdot q + r}{q} = n + \frac rq, \quad r \lt q.. und das mit dem Kettenbruch vergleicht ... n+rq=b0+1b1+1b2+1b3+ n + \frac rq = b_0 + \frac 1{b_1 + \frac 1{b_2 + \frac 1{b_3 + \dots}}}... dann muss zwangsläufign=b0rq=1b1+1b2+1b3+\begin{aligned} n &= b_0 \\ \frac rq &= \frac 1{b_1 + \frac 1{b_2 + \frac 1{b_3 + \dots}}}\end{aligned}sein. Da nn und b0b_0 der ganzzahlige Anteil des Ausdrucks und r/qr/q und der Kettenbruch der Rest sind. Damit ist b0b_0 schon mal klar - in diesem Fall wären das 365 (das war nicht schwer) - und jetzt kommt der Trick: von der letzten Gleichung wird der Kehrwert gebildet:qr=b1+1b2+1b3+\frac qr = b_1 + \frac 1{b_2 + \frac 1{b_3 + \dots}}Und dieser Ausdruck sieht doch genauso aus, wie am Anfang. Nur  dass dort jetzt wahrscheinlich andere Werte stehen. q>rq \gt r damit besitzt der linke Ausdruck einen ganzzahligen Teil, der identisch mit b1b_1 sein muss, usw.

Damit man den Überblick nicht verliert, macht man sich am besten eine kleine Tabellepqbi=pq31556925386400036586400020925342092532698872698820337120337665136651384173841233123158153530\begin{array}{rr|rr} p & q & b_i= \left \lfloor \frac {p}{q} \right\rfloor \\ \hline 315569253& 864000 & 365 \\ 864000 &209253 &4 \\ 209253 &26988 &7 \\ 26988 &20337 &1 \\ 20337 &6651 &3 \\ 6651 &384 &17 \\ 384 &123 &3 \\ 123 &15 &8 \\ 15 &3 &5 \\ 3 & 0 & -\end{array}In der ersten Zeile (nach der Überschrift) stehen Zähler pp und Nenner qq des Ausgangsbruch. Ein Tag hat 86400 Sekunden und der obige Zeitraum entspricht 31556925,3 Sekunden. Beides wurde mit 10 multipliziert, um ganze Zahlen zu erhalten. Die 864000864000 ist in der 315569253315569253  365365 mal enthalten315569253=365864000+209253315569253 = 365 \cdot 864000 + 209253Der Rest 209253209253 wird in die nächste Zeile als neues qq eingetragen. Das neue pp ist wieder das qq aus der Vorzeile - wegen der Kehrwertbildung. Und dann geht es weiter mit864000=4209253+26988864000 = 4 \cdot 209253 + 26988Die 209253209253 ist also 44mal enhalten - das ist das b1b_1 und der neue Rest ist 2698826988. Dieser wird in die nächste Zeile unter qq eingetragen - usw.

Am Ende steht dann 15=35+015 = 3 \cdot 5 + 0 - der Rest ist =0=0 - und damit endet der Kettenbruch. Zusammen gefasst ist 315569253864000=[365;4,7,1,3,17,3,8,5]\frac{315569253}{864000 } = [365; \, 4, 7 ,1,3,17,3,8,5 ]Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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a)
365 + 5/24 + 48/(60·24) + 453/(10·60·60·24) = 105189751/288000

b)
[365; 4; 7; 1; 3; 17; 3; 8]

c)
365 + 1/4 = 365.25
Ein Jahr hat also etwa 1/4 Tag mehr. D.h. bei 4 Jahren hat man in etwa einen ganzen Tag mehr.

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