Kettenbruchentwicklung.

Question

Aufgabe:

Ein Erdenjahr besitzt eine Dauer von ca. 365 Tagen, 5 Stunden, 48 Minuten und 45,3 Sekunden.
a) Stellen Sie diese Zeitangabe in Tagen als einen unechten Bruch dar.
b) Geben Sie für diesen Bruch die komplette Kettenbruchentwicklung bis zum 8. Glied an. Das bedeutet eine Darstellung der Form: [b0; b1, . . . b8].
c) Nutzen Sie diese Kettenbruchdarstellung und berechnen Sie den Dezimalbruch bis zum ersten Glied [b0; b1]. Warum kann man aus dieser Näherung erkennen, dass alle vier Jahre ein Schaltjahr einzufügen ist?

Problem/Ansatz:

Den unechten Bruch habe ich ziemlich genau mit 73047764861/200000000 angegeben. Aber mit dem Kettenbruch habe ich Probleme.

Comments

Den unechten Bruch habe ich ziemlich genau mit 73047764861/200000000 angegeben.

... sind 365 Tage, 5 Stunden, 43 Minuten und ca. 54,4 Sekunden.

Versuche mal: $105189751/288000$; der Nenner wäre dann auch nicht so groß.

Answer 1

Hallo olirei,

Aber mit dem Kettenbruch habe ich Probleme.

Mal angenommen Du hast einen Bruch $p/q$, wobei $p$ und $q$ natürliche Zahlen sind. Dieser soll als (regulärer) Kettenbruch dargestellt werden. Das sieht ganz allgemein so aus:

$$\frac pq = b_0 + \frac 1{b_1 + \frac 1{b_2 + \frac 1{b_3 + \dots}}}$$Jetzt ist die Frage: wie kommt man zu den einzelnen Werten von $b_0,\, b_1, \dots$? Dazu muss man wissen, dass jeder Teilbruch im Kettenbruch $<1$ ist, da im Zähler eine $1$ und im Nenner eine natürliche Zahl plus noch etwas steht.

Wenn man nun eine Division mit Rest auf der linke Seite der Gleichung durchführt ...$$\frac pq = \frac{n \cdot q + r}{q} = n + \frac rq, \quad r \lt q$$.. und das mit dem Kettenbruch vergleicht ... $$n + \frac rq = b_0 + \frac 1{b_1 + \frac 1{b_2 + \frac 1{b_3 + \dots}}}$$... dann muss zwangsläufig$$\begin{aligned} n &= b_0 \\ \frac rq &= \frac 1{b_1 + \frac 1{b_2 + \frac 1{b_3 + \dots}}}\end{aligned}$$sein. Da $n$ und $b_0$ der ganzzahlige Anteil des Ausdrucks und $r/q$ und der Kettenbruch der Rest sind. Damit ist $b_0$ schon mal klar - in diesem Fall wären das 365 (das war nicht schwer) - und jetzt kommt der Trick: von der letzten Gleichung wird der Kehrwert gebildet:$$\frac qr = b_1 + \frac 1{b_2 + \frac 1{b_3 + \dots}}$$Und dieser Ausdruck sieht doch genauso aus, wie am Anfang. Nur  dass dort jetzt wahrscheinlich andere Werte stehen. $q \gt r$ damit besitzt der linke Ausdruck einen ganzzahligen Teil, der identisch mit $b_1$ sein muss, usw.

Damit man den Überblick nicht verliert, macht man sich am besten eine kleine Tabelle$$\begin{array}{rr|rr} p & q & b_i= \left \lfloor \frac {p}{q} \right\rfloor \\ \hline 315569253& 864000 & 365 \\ 864000 &209253 &4 \\ 209253 &26988 &7 \\ 26988 &20337 &1 \\ 20337 &6651 &3 \\ 6651 &384 &17 \\ 384 &123 &3 \\ 123 &15 &8 \\ 15 &3 &5 \\ 3 & 0 & -\end{array}$$In der ersten Zeile (nach der Überschrift) stehen Zähler $p$ und Nenner $q$ des Ausgangsbruch. Ein Tag hat 86400 Sekunden und der obige Zeitraum entspricht 31556925,3 Sekunden. Beides wurde mit 10 multipliziert, um ganze Zahlen zu erhalten. Die $864000$ ist in der $315569253$  $365$ mal enthalten$$315569253 = 365 \cdot 864000 + 209253$$Der Rest $209253$ wird in die nächste Zeile als neues $q$ eingetragen. Das neue $p$ ist wieder das $q$ aus der Vorzeile - wegen der Kehrwertbildung. Und dann geht es weiter mit$$864000 = 4 \cdot 209253 + 26988$$Die $209253$ ist also $4$mal enhalten - das ist das $b_1$ und der neue Rest ist $26988$. Dieser wird in die nächste Zeile unter $q$ eingetragen - usw.

Am Ende steht dann $15 = 3 \cdot 5 + 0$ - der Rest ist $=0$ - und damit endet der Kettenbruch. Zusammen gefasst ist $$\frac{315569253}{864000 } = [365; \, 4, 7 ,1,3,17,3,8,5 ]$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

a)
365 + 5/24 + 48/(60·24) + 453/(10·60·60·24) = 105189751/288000

b)
[365; 4; 7; 1; 3; 17; 3; 8]

c)
365 + 1/4 = 365.25
Ein Jahr hat also etwa 1/4 Tag mehr. D.h. bei 4 Jahren hat man in etwa einen ganzen Tag mehr.