Topologische Räume - Frage (ganz generell) zu meiner Beweisidee....

Question

Aufgabe:
$$ \begin{array} { l } { \text {  Sei } X \text { eine endliche Menge, und } \tau \text { eine Hausdorff'sche Topologie auf } X . \text { Zeigen } } \\ { \text { Sie, dass } \tau \text { die diskrete Topologie ist. } } \end{array} $$

Problem/Ansatz:

Wie tackle ich das Problem?
Also zuerst denke ich, dass zu zeigen ist, dass wenn:

(1) Hausdorff'sche Topologie und
(2) diskrete Topologie ist, 

in dieser Aufgabe zu zeigen ist, dass:  (1) ⇒ (2). 

Wenn das stimmt, dann führt das zu meinen weiteren Überlegungen.

Eine Hausdorf'sche Topologie hat eine Definition, und sie hat auch gewisse Eigenschaften. 
(das Skript wurde noch nicht angepasst und  darum fehlen mir diese Definitionen aber ich habe sie schon)

Eine diskrete Topologie hat auch eine Definition, so viel ich weiss ist das eine Menge X mit der Topologie τ = {P(X)}.
Diese Diskrete Topologie hat auch Eigenschaften. 

Wie nun weiter ? & Idee.

Ich habe sozusagen zwei Objekte (1) & (2) mit jeweils ihren Definitionen, die sie auszeichnen und ihren jeweiligen Eigenschaften. 

Ich will ja zeigen, dass eine Hausdorff'sche Topologie impliziert, dass die Topologie τ die diskrete Topologie ist. 
Deswegen werfe ich einen Blick auf die Eigenschaften von Hausdorff und versuche aus ihren Eigenschaften zu zeigen, dass daraus exakt die Eigenschaften einer diskreten Topologie folgern, oder? 

Weil wenn das so ist, und ich das tatsächlich zeigen kann, dass aus den Hausdorff-Eigenschaften die Diskrete-Eigenschaften folgern, dann erfüllt eben Hausdorff T. alle Bedingungen die es braucht um Diskrete T. zu sein. 

Und so habe ich dann gezeigt, dass die Hausdorff'sche Topologie die diskrete Topologie ist. 
Also insgesamt versuche ich es "direkt" zu zeigen. 


Frage:
Was meint ihr  ?

Answer 1

konkret könnte das vielleicht so gehen :

Sei X eine  endliche  Menge und  τ eine Hausdorffsche Top. für X

==>   Zu je zwei verschiedenen  Elementen a und b   von X existieren

offene Mengen U(a) und U(b) , die a bzw. b enthalten und einen

leeren Durchschnitt haben.

zu zeigen:  τ ist die diskrete Topologie, d.h.:

Jede Teilmenge von X ist offen..

Sei also T eine Teilmenge von X.

1. Fall T=∅. Dann ist T offen (Def. Topologie) .

2. Fall:  T≠∅.   Da X endlich ist, ist auch T endlich und

wegen " hausdorffsch" gibt es zu jedem x∈T

eine offene Menge U(x), die x enthält, aber kein anderes El. von T.

Dann ist T die Vereinigung aller U(x) mit x∈T und damit als

endliche Vereinigung offener Mengen auch offen.