Integral ∫ x^2/(x^3-1) dx bestimmen. Koeffizientenvergleich nötig?

Question

Wie löst man das integral von ∫ x^2/(x^3-1) dx

Muss man hierfür den Koeffizientenvergleich durchführen?

Comments

Tipp: x³ - 1 = (x - 1)·(x² + x + 1).

Answer 1

Muss man hierfür den Koeffizientenvergleich durchführen ? Nein,

aber möglich ist es.

Lösung durch Substitution:

Answer 2

ich würde zur Substitution greifen.

\(\displaystyle\int \dfrac{x^2}{x^3-1}\, dx \longrightarrow u=x^3-1 ,\: du=3x^2\,dx \Leftrightarrow dx=\dfrac{du}{3x^2} \\ =\dfrac{1}{3}\displaystyle\int \dfrac{1}{u}\, du\) 
\(\\=\dfrac{1}{3}\ln(|u|) +C \)           Das Integral von \(\dfrac{1}{u}\) lautet \(\ln(u)\)
\(\\=\dfrac{\ln(|x^3-1)}{3}+C\)

ggf. Betragsstriche entfernen, falls es sich um den komplexwertigen Log handelt.

Answer 3

setze u=x³-1. Dann ist du/dx=3x² und dx=du/3x². Einsetzen in ∫ x²/(x³-1) dx ergibt ∫(x²/u·du/3x²=1/3·∫du/u=1/3·ln(u). Resubstitution.

Answer 4

Ich würde erkennen, dass der Zähler mit einem zusätzlichen Faktor 3 gerade die Ableitung des Nenners wäre.

Deshalb mache ich ∫ x²/(x³-1) dx zu  (1/3)∫ 3x²/(x³-1) dx und erhalte direkt  (1/3) ln|x³-1| +c.