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Aufgabe:

Ich habe versucht obige Implikation zu zeigen, komme aber an einer Stelle (unten beschrieben) nicht weiter.

$$ \text{Sei } \mathbb{K} \text{ ein Körper, }V \text{ ein } \mathbb{K}\text{-Vektorraum und }f,g:V\rightarrow V \text{ lineare Abbildungen. Dann gilt:}\\ \text{Ist }f \text{ injektiv, so ist } Kern(g)=Kern(f\circ g). $$

Beweis:

$$ Kern(g)\subseteq Kern(f\circ g) $$ habe ich schon gezeigt. Bleibt also noch $$ Kern(f\circ g)\subseteq Kern(g) $$

$$ \text{Seien } v_1,v_1\in Kern(f \circ g). \text{ Dann gilt } f(g(v_1))=0_v \text{ und } f(g(v_2))=0_v, \text{ also } \\f(g(v_1))=f(g(v_2)) \stackrel{\text{f injektiv}}{\Rightarrow} g(v_1)=g(v_2) \Leftrightarrow g(v_1-v_2)=g(v_1)-g(v_2)=0_v.\\\text{Also gilt } (v_1-v_2)\in Kern(g).$$

Problem:

Wie kann ich jetzt begründen, dass auch $$ v_1, v_2 \in Kern(g) $$ gültig ist?

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Die Inklusion \( Kern(g) \subseteq Kern(f\circ g) \) ist trivial.

Für die andere Richtung \( Kern(g) \supseteq Kern(f\circ g) \):

Sei \( x \in Kern(f\circ g) \), dann ist \( f(g(x)) = 0 \), insbesondere also \( g(x) \in Kern(f) = \{ 0 \} \) (die Gleichung gilt, da f injektiv ist), d.h. \( g(x) = 0 \) und somit \( x \in Kern(g) \). \( \square \)

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Die Gleichheit Kern(f)={0} leuchtet ein, aber warum gilt g(x)∈Kern(f) ?

Da

$$ y \in Kern(f) \Longleftrightarrow f(y) = 0 $$

mit \( y = g(x) \) gilt ja

$$ f(g(x)) = f(y) = 0 $$

und somit eben \( g(x) = y \in Kern(f) \)

Danke, ich war blind bzw. zu sehr vom Begriff der Injektivität geblendet, sodass ich die Äquivalenz (y∈Kern(f) <=> f(y)=0 ) nicht bedacht habe. Danke vielmals! :)

Mit deinem Ansatz funktioniert das allerdings auch, wenn du \( v_2 = 0 \) wählst. Das ist ja sicherlich im Kern.

Hallo,

dürfte man die Richtung ker(f \circ g) \supset ker(g) so zeigen?

Sei $$v \in Ker(g)$$ d.h. $$g(v)=0$$ und mit $$ker(f(g(v))$$ gilt $$f(g(v))=0$$ D.h. $$g(v)\subseteq ker(f \circ g)$$
D.h. insgesamt gilt $$ker(g)\subseteq ker(f \circ g)$$

\( \ker(f (g(v))\)

Kern von einem Vektor?

\(f(g(v))=0\)

Warum? (Das ist alles was hier zu zeigen ist)

\(g(v)\subseteq \ker(f \circ g)\)

Ein Vektor ist eine Teilmenge?

---

Sei \( v\in\ker g \), d.h. \( g(v)=0\)

Jetzt begründe, dass \( f (g (v))= 0\).

Dann gilt \( v \in\ker f\circ g\).

Danke für deine Antwort:) Wäre es so besser?

mit f(g(v))=0 folgt dass g(v) ∈ ker(f), d.h. g(v)=0 und insgesamt gilt ker(g)⊆ker(f∘g)

mit f(g(v))=0 folgt dass g(v) ∈ ker(f), d.h. g(v)=0

Das ist jetzt die andere Inklusion.

Wenn v im Kern von g ist, dann ist g(v)=0.

Warum muss dann auch f(g(v))=0?

Danke nochmal, ich dachte, weil g ∈ ker f ist, müsste das automatisch folgen.

Eine Abbildung liegt doch aber nicht im Kern einer anderen? Der Kern besteht nur aus Vektoren.

mmmh, ja das macht Sinn. Könnte man denn sagen, dass im(g)∈ker(f) ist und deshalb f(g(v))=0?

Du denkst viel zu kompliziert ;)

(Das Bild kann höchstens eine Teilmenge des Kerns sein, aber kein Element)

Wenn v im Kern von g ist, dann ist g(v)=0.

Also f(g(v))=f(0). Warum ist f(0)=0?

Danke für die Antwort:) Weil es sich bei f um eine lineare Abbildung handelt?

Richtig, jetzt hast du s schon.

\( v \in \ker g \implies g (v)=0\implies f (g (v))=0 \implies v \in \ker f\circ g\)

Da v beliebig also \( \ker g \subseteq \ker f\circ g\)

Ok, vielen lieben Dank für deine Hilfe :D

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