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Flugbahn eines Golfballs
Die gegebene Gleichung für die Flugbahn eines Golfballs lautet \(y = -0,004x^2 + 0,5x\), wobei \(y\) die Höhe und \(x\) die horizontale Entfernung in Metern angibt.
a) Höhe über der 50m-Markierung
Um die Höhe des Golfballs über der 50m-Markierung zu berechnen, setzen wir \(x = 50\) in die Gleichung ein:
\(y = -0,004 \cdot 50^2 + 0,5 \cdot 50\)
Erst berechnen wir \(-0,004 \cdot 50^2\):
\(= -0,004 \cdot 2500 = -10\)
Dann berechnen wir \(0,5 \cdot 50\):
\(= 25\)
Addiere nun beides:
\(y = -10 + 25 = 15\)
Also beträgt die Höhe des Golfballs über der 50m-Markierung \(15\) Meter.
b) Reichweite des Golfballs
Um die maximale Reichweite des Golfballs zu finden, müssen wir den Punkt \(x\) berechnen, an dem \(y = 0\) ist, da dieser Punkt das Landen des Balls auf dem Boden repräsentiert.
Setzen wir \(y = 0\) in die Gleichung:
\(0 = -0,004x^2 + 0,5x\)
Dies ist eine quadratische Gleichung, die in die Standardform \(ax^2 + bx + c = 0\) passt, wo \(a = -0,004\), \(b = 0,5\), und \(c = 0\).
Um die Gleichung zu lösen, verwenden wir die Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Einsetzen der Werte gibt:
\(x = \frac{-0,5 \pm \sqrt{(0,5)^2 - 4(-0,004)(0)}}{2(-0,004)}\)
Vereinfachen ergibt:
\(x = \frac{-0,5 \pm \sqrt{0,25}}{-0,008}\)
Ein positives Ergebnis für \(x\) wäre physisch sinnvoll (wir ignorieren die negative Lösung):
\(x = \frac{-0,5 \pm 0,5}{-0,008}\)
Wenn wir das positive Vorzeichen für die Quadratwurzel wählen, annullieren sich die Terme im Zähler, was bedeutet, dass wir das negative Vorzeichen wählen sollten:
\(x = \frac{-0,5 - 0,5}{-0,008} = \frac{-1}{-0,008} = 125\)
Somit fliegt der Golfball eine maximale Reichweite von \(125\) Metern bevor er den Boden erreicht.
